Simplificació de Funcions Lògiques
En l'àlgebra de Boole, simplificar funcions lògiques té com a objectiu reduir el nombre de termes per aconseguir circuits digitals més simples i eficients. Aquesta guia didàctica t'explica pas a pas el procés de simplificació, tot recolzant-se en propietats fonamentals com la identitat, absorció, distributiva i les lleis de De Morgan.
Nota didàctica: Cada pas mostra el canvi realitzat, la propietat o teorema aplicat, i una explicació sobre el perquè d'aquesta transformació. Així es facilita la comprensió dels conceptes claus de l'àlgebra de Boole.
Regles bàsiques de l'àlgebra de Boole
- Identitat:
A · 1 = A, A + 0 = A
- Complementació:
A · A' = 0, A + A' = 1
- Idempotència:
A · A = A, A + A = A
- Distributiva:
A · (B + C) = A · B + A · C
- Absorció:
A + A · B = A
- Associativa:
(A + B) + C = A + (B + C), (A · B) · C = A · (B · C)
- De Morgan:
(A · B)' = A' + B', (A + B)' = A' · B'
Simplificació pas a pas de f(A, B, C, D)
Pas 1: Identificació de termes repetits
f(A, B, C, D) = ABC + ABD + ABC + CD + BD
[Identifiquem i combinem termes iguals]
Notem que el terme "ABC" apareix dues vegades. En l'àlgebra de Boole, els termes repetits es poden eliminar sense canviar el resultat final.
Pas 2: Aplicació de la propietat d'absorció
= ABC + AB + ABC + CD + BD
[Propietat d'absorció: X + XY = X]
Si tenim un terme X i un terme XY, podem simplificar-ho a X.
En aquest cas, "ABD" es pot simplificar a "AB", ja que "AB" absorbeix "ABD" quan B és comú en ambdós termes.
Pas 3: Agrupació de termes similars
= ABC + AB + BC + CD + BD
[Agrupació i reordenació]
Reagrupem els termes que comparteixen variables comuns per veure més clar quines simplificacions es poden aplicar.
Pas 4: Eliminació de termes redundants
= AB + BC + CD + BD
[Reaplicant la propietat d'absorció]
Amb la propietat d'absorció: si un terme està contingut dins d'un altre, només es manté el terme més simple.
"ABC" és redundant ja que la seva contribució es troba dins del terme "AB". Per això el podem eliminar.
Pas 5: Aplicació de la distributiva
= AB + CD + B(C + D)
[Distributiva: X(Y+Z) = XY+XZ]
La propietat distributiva permet extreure factors comuns i reagrupant els termes.
Aquí, hem identificat que BD i BC poden ser facturitzats en la forma B(C + D). Així, la funció es simplifica encara més.
Pas final: Simplificació definitiva
= B + CD
[Simplificació final amb la propietat d'absorció]
Utilitzem de nou la propietat d'absorció per veure que "AB" es pot reduir a "B" si B és present en tots els termes.
El terme "AB" es simplifica a "B", resultant en la forma final molt més compacta de la funció.
Conclusió:
S'ha reduït el nombre de termes, optimitzant la funció per facilitar el disseny del circuit digital.
Simplificació pas a pas de f(X, Y, Z)
Pas inicial: Desenvolupament de la funció
f(X, Y, Z) = XY(Z + YX) + YZ
[Aplicació de la propietat distributiva]
Distributiva: X(Y+Z) = XY + XZ
Primerament, expandim el terme dins del parèntesi. Aquesta expansió és fonamental per poder identificar la simplificació posterior.
Pas 2: Eliminació de termes redundants
= XY + YZ
[Propietat d'absorció: X + XY = X]
Quan un terme apareix tant com a terme independent com multiplicat per una variable, el terme més senzill és suficient.
El terme que resultava de l'expansió (XYZ) està contingut dins de XY, per això només cal conservar XY.
Pas 3: Factorització final
= (X + Z)Y
[Factorització inversa o distributiva inversa]
La factorització inversa ens permet extreure el factor comú (en aquest cas Y) i escriure la funció en una forma més compacta.
Reagrupem XY i YZ per extreure la variable Y, obtenint la forma final: (X + Z)·Y.
Conclusió:
La funció simplificada és: (X + Z)·Y, la qual és una forma compacta i fàcil d'implementar.