DLNM Real (Quasipoisson) — Explicació Matemàtica Completa

$$ Y_t \sim Quasi\text{-}Poisson(\mu_t) $$ $$ \log(\mu_t) = \alpha + \sum_{l=0}^{L} \beta_l X_{t-l} + \gamma \cdot Temp_t + s(time) $$

\(Y_t\): casos diaris
\(\mu_t\): incidència esperada
\(X_{t-l}\): NO₂ amb retard (lag l)
\(\beta_l\): efecte retardat
\(Temp_t\): temperatura mitjana
\(s(time)\): spline temporal (confusió estacional)

Dimensions:

$$ n = 9967,\quad p = 24 $$

Dades utilitzades:

$$ n_{final} = 4400 $$

Es descarten observacions amb missing values.

Lags principals:

$$ \beta_{lag1} = -3.10 \times 10^{-4} $$ $$ \beta_{lag2} = -2.25 \times 10^{-4} $$ $$ \beta_{lag1}^{(alt)} = -1.10 \times 10^{-3} $$

Els coeficients són petits perquè l’efecte està distribuït en el temps.

$$ \gamma = -9.813 \times 10^{-5} $$

La temperatura entra com a variable lineal.

Interpretació: augment de temperatura → lleu reducció de risc.

$$ s(time) = \sum_{k=1}^{55} \gamma_k B_k(time) $$

55 graus de llibertat → control estacional fort (hivern, estiu, tendència).

Elimina confusió temporal i estacionalitat.

$$ df = 2 $$

Restricció de flexibilitat del DLNM.

Evita que el model s’ajusti al soroll.

$$ \phi = 0.0585 $$

\(\phi < 1\) → subdispersió relativa.

Variabilitat menor que Poisson clàssic.

$$ \log(\mu_t) = 3.400 + \sum \beta_l X_{t-l} - 9.8\times10^{-5} Temp_t + s(time) $$

Model log-lineal amb múltiples confusors i efectes retardats.

• L’efecte del NO₂ és distribuït en fins a 14 dies
• La temperatura actua com a confusor significatiu
• La tendència temporal explica gran part de la variabilitat
• L’efecte immediat del NO₂ és petit però acumulatiu

$$ D_{null} = 3,878,767 $$ $$ D_{residual} = 277 $$

Reducció extrema de deviance → model altament explicatiu.