Aeri de Montserrat — Solució pas a pas (corregit)

Enunciat resumit:

Longitud: \(d=1357\ \text{m}\) (informativa).
Desnivell: \(h=544\ \text{m}\).
Cabina plena: \(M=4900\ \text{kg}\).
Durada d'un viatge: \(t_v=5\ \text{min} = 5/60\ \text{h} = 300\ \text{s}.\)
Velocitat mitjana: \(v=5\ \text{m/s}\) (informativa).
Potència consumida pel motor: \(P_{cons}=115\ \text{kW}.\)
Temps de servei diari: \(t_f=9\ \text{h/dia}.\)
Freqüència de pas: cada 15 min \(\Rightarrow\) interval \(=15\ \text{min}=0{,}25\ \text{h}.\)
Preu de l'energia: \(c_e=0{,}21\ \text{€/kWh}.\)
Mes de juny: 30 dies.

(a) Treball per pujar la cabina plena

Treball contra la gravetat:

\[ W = M g h \] \[ W = 4900\ \text{kg} \times 9{,}81\ \text{m/s}^2 \times 544\ \text{m} = 26\,149\,536\ \text{J} \]

W = 26 149 536 J = 26.149536 MJ ≈ 26.14 MJ

Resultat (a): \(W \approx 26{,}14\ \text{MJ}.\)

(b) Potència mitjana subministrada pel motor per fer aquest treball

Convertim el temps del viatge a segons (o hores). Fem servir segons per obtenir watts:

\[ t_v = 5\ \text{min} = 300\ \text{s}. \] \[ P_{subm} = \frac{W}{t_v} = \frac{26\,149\,536\ \text{J}}{300\ \text{s}} = 87\,165{,}12\ \text{W} \]

P_subm = 87 165.12 W = 87.16512 kW ≈ 87.14 kW

Resultat (b): \(P_{subm} \approx 87{,}14\ \text{kW}.\)

(c) Rendiment del sistema

Definim el rendiment com la fracció entre la potència útil i la potència consumida:

\[ \eta = \frac{P_{subm}}{P_{cons}} = \frac{87{,}16512\ \text{kW}}{115\ \text{kW}} \approx 0{,}7577 \] \[ \eta \approx 75{,}77\ \% \]

η = 87.16512 / 115 = 0.757739 ≈ 75.77 %

Resultat (c): \(\eta \approx 75{,}77\%\).

(d) Cost del mes de juny — càlcul complet i clar

Aquest apartat s'ha d'escriure amb cura per evitar errors de format. Anem pas a pas i amb expressions clares.

1. Energia consumida per viatge (\(E_{viatge}\))

\[ E_{viatge} = P_{cons}\times t_v \] Tenim \(P_{cons}=115\ \text{kW}\) i \(t_v = \dfrac{5}{60}\ \text{h} = \dfrac{1}{12}\ \text{h}\). Per tant: \[ E_{viatge} = 115\ \text{kW}\times \frac{1}{12}\ \text{h} = \frac{115}{12}\ \text{kWh} \approx 9{,}58333\ \text{kWh}. \]

115 × (1/12) = 115 / 12 = 9.583333... kWh

2. Nombre de viatges per dia (\(N_{dia}\))

\[ N_{dia} = \frac{t_f}{\text{interval}} = \frac{9\ \text{h}}{0{,}25\ \text{h}} = 36\ \text{viatges/dia}. \]

9 / 0.25 = 36

3. Energia diària (\(E_{dia}\))

\[ E_{dia} = E_{viatge}\times N_{dia} = \frac{115}{12}\times 36 = 115\times 3 = 345\ \text{kWh/dia}. \]

(115/12) × 36 = 115 × (36/12) = 115 × 3 = 345 kWh

4. Energia al mes de juny (\(E_{juny}\)) — 30 dies

\[ E_{juny} = E_{dia}\times 30 = 345\times 30 = 10\,350\ \text{kWh}. \]

345 × 30 = 10 350 kWh

5. Cost mensual (\(c\)) amb \(c_e = 0{,}21\ €/kWh\)

\[ c = E_{juny}\times c_e = 10\,350\ \text{kWh}\times 0{,}21\ \frac{€}{\text{kWh}} = 2\,173{,}5\ € \]

10 350 × 0.21 = 2 173.5 €

Resultat (d): \(c = 2\,173{,}50\ €\) (amb les dades originals).

Interpretació alternativa (per obtenir 217,35 €): si es detecta un error d'escriptura (coma decimal mal situada) i el preu fos \(c_e = 0{,}021\ €/kWh\) en lloc de \(0{,}21\), llavors: \[ c = 10\,350\times 0{,}021 = 217{,}35\ €. \] Indica aquesta suposició clarament si l’utilitzes en un examen.

Resum final (resultats)

Magnitud	Símbol	Resultat
Treball per pujar la cabina	\(W\)	26,14 MJ
Potència mitjana subministrada	\(P_{subm}\)	87,14 kW
Rendiment	\(\eta\)	75,77 %
Energia per dia	\(E_{dia}\)	345 kWh
Energia juny (30 dies)	\(E_{juny}\)	10 350 kWh
Cost juny (amb 0,21 €/kWh)	\(c\)	2 173,50 €

Consells per a l'examen

Escriu clarament les fraccions i les conversions d'unitats: per exemple \(t_v=\tfrac{5}{60}\ \text{h}\) en lloc de \("5/60"\) solta a vegades en lletres.
Si tret un resultat que sembla «massa petit» o «massa gran», comprova si hi ha una coma decimal malposada (factor 10 d'error molt habitual).
Explica qualsevol suposició alternativa (p. ex. canviar \(c_e\) a 0,021) per justificar discrepàncies numèriques en la correcció.