🔬 Duresa Brinell · Demostració pas a pas

Una aproximació rigorosa i didàctica a l’assaig de duresa més clàssic: fonaments geomètrics, deducció matemàtica i aplicació pràctica.

📌 1. Fonament del mètode Brinell

L’assaig de duresa Brinell, proposat per J. A. Brinell l’any 1900, consisteix a penetrar una bola d’acer temperat (o de carbur de tungstè) en un material mitjançant una força constant \(F\) durant un temps determinat. Un cop retirada la càrrega, es mesura el diàmetre \(d\) de la petjada circular deixada sobre la superfície. La duresa s’obté com el quocient entre la força aplicada i l’àrea de la superfície de la petjada (casquet esfèric).

La duresa Brinell (símbol HB o BHN) es defineix matemàticament com:

HB = \frac{F}{A}

on \(F\) és la força expressada en kgf (kilogram-força) i \(A\) és l’àrea del casquet esfèric de la impressió en \(\text{mm}^2\). Tradicionalment la unitat resultant és \(\text{kgf/mm}^2\), tot i que sovint s’omet.

📐 2. Geometria de la indentació

La indentació que produeix la bola de diàmetre \(D\) genera una petjada circular de diàmetre \(d\) i una profunditat \(h\). La relació entre aquestes magnituds és clau per a l’expressió analítica de la duresa.

🧮 3. Obtenció de la profunditat \(h\)

Observem el triangle rectangle format pel radi de la bola \(R\), la meitat del diàmetre de la petjada \(d/2\) i la distància del centre de la bola a la corda, que és \(R - h\). Aplicant el teorema de Pitàgores:

(R - h)^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2 = R^2

Expandim i simplifiquem:

R^2 - 2Rh + h^2 + \frac{d^2}{4} = R^2 \quad\Rightarrow\quad -2Rh + h^2 + \frac{d^2}{4} = 0

Reordenant: \(h^2 - 2Rh + \frac{d^2}{4} = 0\). Aïllem \(h\) (solució positiva, \(h \ll R\)):

h = R - \sqrt{R^2 - \left(\frac{d}{2}\right)^2}

Expressat en funció del diàmetre \(D\) (\(R = D/2\)):

h = \frac{D}{2} - \sqrt{\left(\frac{D}{2}\right)^2 - \left(\frac{d}{2}\right)^2} = \frac{D - \sqrt{D^2 - d^2}}{2}

Aquesta expressió de la profunditat \(h\) serà necessària per a calcular l’àrea de la superfície deformada.

📏 4. Àrea de la superfície de la petjada (casquet esfèric)

La superfície real que suporta la força no és la secció circular plana, sinó l’àrea corba del casquet esfèric. L’àrea lateral d’un casquet d’altura \(h\) en una esfera de radi \(R\) és:

A = 2\pi R h

Com que \(R = D/2\), tenim:

A = 2\pi \left(\frac{D}{2}\right) h = \pi D h

Substituint l’expressió de \(h\) trobada anteriorment:

A = \pi D \cdot \frac{D - \sqrt{D^2 - d^2}}{2} = \frac{\pi D \left(D - \sqrt{D^2 - d^2}\right)}{2}

⚙️ 5. Definició matemàtica de la duresa Brinell

Per definició: \( HB = \dfrac{F}{A} \). Substituint l’àrea \(A\) obtinguda:

HB = \frac{F}{\displaystyle \frac{\pi D \left(D - \sqrt{D^2 - d^2}\right)}{2}} = \frac{2F}{\pi D \left(D - \sqrt{D^2 - d^2}\right)}

Aquesta és la fórmula fonamental de la duresa Brinell. En la pràctica, la força \(F\) s’aplica en kgf (kilogram-força) i els diàmetres en mm, la qual cosa proporciona \(HB\) en \(\text{kgf/mm}^2\). En el Sistema Internacional, si s’utilitzen newtons (N), la fórmula és similar però cal tenir en compte la conversió: \(1\ \text{kgf} = 9,80665\ \text{N}\).

💡 Observació estàndard: Per als assaigs normalitzats (ISO 6506, ASTM E10) sovint s’utilitza una relació de càrrega \(F/D^2\) constant. Els valors típics són:
- Materials fèrrics: \(D = 10\ \text{mm}\), \(F = 3000\ \text{kgf}\) → \(F/D^2 = 30\).
- Coure i aliatges tous: \(D = 10\ \text{mm}\), \(F = 500\ \text{kgf}\).
S’exigeix que \(0,24D \le d \le 0,6D\) per garantir la validesa del mesurament.

📊 6. Exemple numèric complet

📌 Dades: Assaig sobre un acer estructural. Bola de \(D = 10\ \text{mm}\), càrrega \(F = 3000\ \text{kgf}\). Es mesura un diàmetre de petjada \(d = 4,0\ \text{mm}\). Calculem la duresa Brinell \(HB\).

Pas 1: Calculem \(\sqrt{D^2 - d^2}\):

\[ \sqrt{10^2 - 4^2} = \sqrt{100 - 16} = \sqrt{84} \approx 9,16515139 \]

Pas 2: Diferència \(D - \sqrt{D^2 - d^2}\):

\[ 10 - 9,16515139 \approx 0,83484861\ \text{mm} \]

Pas 3: Producte \(\pi D\):

\[ \pi \times 10 \approx 31,41592654 \]

Pas 4: Denominador complet \(\pi D \left(D - \sqrt{D^2 - d^2}\right)\):

\[ 31,41592654 \times 0,83484861 \approx 26,227\ \text{(unitats: mm}^2\text{)} \]

Pas 5: Apliquem la fórmula \( HB = \dfrac{2F}{\pi D \left(D - \sqrt{D^2 - d^2}\right)} \):

\[ HB = \frac{2 \times 3000}{26,227} = \frac{6000}{26,227} \approx 228,8 \]

Resultat: \(HB \approx 229\) (s’arrodoneix a nombre sencer segons normativa). Aquest valor indica una duresa típica per a un acer de mitjana resistència.

📈 7. Interpretació i abast de la duresa Brinell

La fórmula deduïda permet relacionar directament la càrrega, la geometria de la bola i el diàmetre de la petjada. Característiques destacades:

Proporcionalitat inversa respecte a \(d\): com més gran és la petjada \(d\), menor és \(HB\) (material més tou).
Sensibilitat a la mesura de \(d\): un error en el diàmetre afecta quadràticament el valor de la duresa.
Diferents escales: per a materials molt durs s’utilitza bola de carbur de tungstè (HBW) i càrregues més altes; per a materials tous, càrregues reduïdes.

La duresa Brinell, a diferència d’altres mètodes (Vickers, Rockwell), proporciona una àrea d’impressió gran, la qual cosa la fa ideal per a materials heterogenis (fosa, aliatges gruixuts).

📚 Taula orientativa de duresa Brinell

Material	HB típic (10/3000)	Observacions
Alumini pur	15 - 30	Molt tou, s'usa càrrega més petita
Coure recuit	40 - 55	Excel·lent conductivitat
Llautó (70/30)	60 - 90	Aliatge comú
Acer dolç (baix carboni)	100 - 150	Estructural
Acer de mitjà carboni	180 - 250	Exemple: 229 (l’exemple anterior)
Acer aliat (tractat tèrmic)	300 - 450	Elevada resistència

✍️ 8. Síntesi de la demostració matemàtica

Estructura lògica de la deducció:

Geometria de la impressió: relació pitagòrica → \(h = \dfrac{D - \sqrt{D^2-d^2}}{2}\).
Àrea real de la superfície de contacte (casquet esfèric): \(A = \pi D h\).
Substitució de \(h\): \(A = \dfrac{\pi D}{2}\left(D - \sqrt{D^2-d^2}\right)\).
Definició de duresa: \(HB = F / A\).
Expressió final compacta: \(HB = \dfrac{2F}{\pi D\left(D - \sqrt{D^2-d^2}\right)}\) (amb \(F\) en kgf, \(D\) i \(d\) en mm).

🧠 Aquesta relació permet, coneixent \(F\) i \(D\), obtenir la duresa a partir d’un sol mesurament (\(d\)), la qual cosa és extremadament pràctica en laboratoris i control de qualitat.

🔁 Consideracions finals

La demostració anterior evidencia que l’assaig Brinell no requereix conèixer la profunditat \(h\) explícitament: n’hi ha prou amb mesurar el diàmetre de la petjada \(d\) i aplicar la fórmula deduïda. A més, la força \(F\) ha de ser proporcional al quadrat del diàmetre de la bola (\(F = k\cdot D^2\)) perquè la impressió sigui geomètricament similar, assegurant que el nombre de duresa sigui independent de la càrrega i del diàmetre dins dels rangs normalitzats.

Amb aquesta base matemàtica i geomètrica, la duresa Brinell es consolida com una tècnica robusta, fiable i de fàcil interpretació física.