Moment Angular: Explicació, Conservació i Exemples

1. Què és el Moment Angular (L)?

El moment angular, denotat per $L$, és una magnitud física que descriu la quantitat de moviment de rotació d'un objecte. És l'equivalent rotacional del moment lineal.

• Depèn de la massa de l'objecte.
• Depèn de la forma i distribució de la massa.
• Depèn de la velocitat angular.
• Depèn de la distància a l'eix de rotació.

2. Per què es Conserva el Moment Angular?

La conservació del moment angular és un principi fonamental derivat de les lleis de Newton. Si no hi ha parell extern net actuant sobre un sistema, el seu moment angular total es manté constant.

2.1. Expressió Matemàtica

Matemàticament, el moment angular $L$ es defineix com:

$L = I \cdot \omega$

on:

• $I$ és el moment d'inèrcia (resistència a canviar l'estat de rotació).
• $\omega$ és la velocitat angular (rapidesa de rotació).

Si $I$ canvia (per exemple, un objecte es fa més petit), $\omega$ ha de canviar de manera inversa per mantenir $L$ constant.

3. Exemple Estel·lar: Púlsars

Un exemple impressionant de conservació del moment angular és la formació de púlsars. Un púlsar és una estrella de neutrons que gira extremadament ràpid.

3.1. Procés de Formació

1. Col·lapse: Abans del col·lapse, l'estrella té un radi gran i una rotació lenta.
2. Conservació: Quan l'estrella col·lapsa, el seu radi disminueix dràsticament. Per la conservació del moment angular, la velocitat angular augmenta enormement.
3. Púlsar: Això explica per què els púlsars tenen períodes de rotació tan curts (mil·lisegons).

4. Càlcul Simplificat (Púlsar)

Considerem una estrella amb:

• Radi inicial: $R_1 = 5 \times 10^5 \text{ km}$
• Període de rotació inicial: $P_1 = 5 \text{ dies}$
• Radi final (estrella de neutrons): $R_2 = 10 \text{ km}$

Aplicant la conservació del moment angular:

$R_1^2 \cdot \omega_1 = R_2^2 \cdot \omega_2$

Podem calcular $\omega_2$ i el període final $P_2$.

4.1. Càlcul de $\omega_1$

$\omega_1 = \frac{2\pi}{P_1} = \frac{2\pi}{5 \cdot 24 \cdot 3600} \approx 1.45 \times 10^{-5} \text{ rad/s}$

4.2. Càlcul de $\omega_2$

$\omega_2 = \omega_1 \cdot \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2 = 1.45 \times 10^{-5} \cdot \left(\frac{5 \times 10^5}{10}\right)^2 \approx 3.63 \times 10^4 \text{ rad/s}$

4.3. Conversió a rev/s

$\text{rev/s} = \frac{\omega_2}{2\pi} \approx \frac{3.63 \times 10^4}{2\pi} \approx 5778 \text{ rev/s}$

Això és aproximadament 5778 revolucions per segon!

5. Comparació amb la Realitat

A la pràctica, els púlsars no giren tan ràpid com aquest càlcul prediu a causa de:

• Pèrdues d'energia durant el col·lapse.
• Emissió de neutrins.
• Altres factors complexos.

Per exemple, el púlsar més ràpid conegut (PSR J1748-2446ad) gira a uns 716 rev/s, significativament menys que la nostra estimació teòrica.

6. Altres Exemples de Conservació del Moment Angular

• Patinadors sobre gel: Acostant els braços al cos, disminueixen el moment d'inèrcia i augmenten la velocitat de rotació.
• Giroscopis: Mantenen l'orientació tret que hi hagi forces externes, usats en sistemes de navegació.
• Bicicletes: Les rodes que giren contribueixen a l'estabilitat per conservació del moment angular.