Col·lapse Gravitacional d'una Estrella: Model Idealitzat i Comparació amb Observacions

1. Introducció

Aquest document explica, de manera didàctica, com es pot modelitzar el col·lapse gravitacional d'una estrella massiva que es converteix en una estrella de neutrons, aplicant la conservació del moment angular. També es compara el resultat idealitzat amb les observacions reals.

2. Model Idealitzat i Càlculs Pas a Pas

2.1 Dades Inicials

Suposem que, abans del col·lapse, l'estrella té:

• Radi inicial: $R_1=5\times {10}^5\text{km}$
• Massa: $M=1.4$ masses solars (la massa es conserva i cancel·la en els càlculs)
• Període de rotació inicial: $P_1=5$ dies

Després del col·lapse, l'estrella de neutrons té un radi de:

• Radi final: $R_2=10\text{km}$

2.2 Conservació del Moment Angular

La hipòtesi clau és que, sense pèrdues importants, el moment angular es conserva:

on el moment d'inèrcia d'una esfera uniforme és:

Cancel·lant factors comuns, s'obté:

2.3 Càlcul de la Velocitat Angular Inicial ${\omega }_1$

La velocitat angular es relaciona amb el període per:

Convertim $5$ dies a segons:

Per tant:

2.4 Aplicació de la Conservació per Obtenir ${\omega }_2$

Substituïm les dades a la relació:

Amb $R_1=5\times {10}^5\text{km}$ i $R_2=10\text{km}$:

Així:

2.5 Conversió a Revolucions per Segon

Una revolució completa correspon a $2\pi$ radians, per tant:

Arrodonint, obtenim aproximadament 5800 revolucions per segon.

3. Comparació amb Observacions Reals

Tot i que el càlcul idealitzat donaria una rotació de 5800 rev/s, en la realitat es produeixen diversos mecanismes de pèrdua de moment angular:

• Pèrdues per neutrins i radiació: durant el col·lapse s'emeten neutrins i radiació electromagnètica.
• Expulsió de material: la expulsió asimètrica de massa afecta el moment angular.
• Estructura interna complexa: les estrelles de neutrons no són esferes uniformes.

Per exemple, el pulsar més ràpid conegut, PSR J1748-2446ad, gira a aproximadament 716 rev/s, molt inferior als 5800 rev/s teòrics.

4. Càlcul del Màxim Teòric de Rotació d'un Pulsar

Abans que les forces centrífuges facin que un pulsar es desintegri, la força gravitacional a l'equador ha de ser igual a la força centrífuga. Aquesta condició es pot expressar com:

Aïllant ${\omega }_{\text{max}}$:

El període mínim corresponent és:

Per convertir la velocitat angular a revolucions per segon, es fa:

i les revolucions per minut (rpm) s'obtenen multiplicant per 60:

Càlcul Numèric Exemple

Considerem els següents valors per a un pulsar:

• $G=6.67\times {10}^{-11}{\text{m}}^3{\text{kg}}^{-1}{\text{s}}^{-2}$
• $M\approx 1.4M_{\odot }\approx 2.785\times {10}^{30}\text{kg}$
• $R=15\text{km}=1.5\times {10}^4\text{m}$

Primer, calculem $GM$:

I el cub del radi:

Substituïnt:

Convertint a rev/s:

i a revolucions per minut:

Així, el límit teòric de rotació d'un pulsar és d'aproximadament 72.000 rpm.

5. Justificació de la Conservació del Moment Angular

La conservació del moment angular és conseqüència de la simetria rotacional del sistema. Si un cos canvia de configuració (per exemple, durant el col·lapse d'una estrella) i no hi ha parells externs, tenim:

Per a un sistema que passa d'una situació inicial $(R_1,{\omega }_1)$ a una final $(R_2,{\omega }_2)$, es compleix:

Utilitzant el moment d'inèrcia d'una esfera uniforme $I=\frac{2}{5}M{R}^2$ i cancel·lant els termes comuns, obtenim:

Aquesta expressió mostra clarament que, en disminuir el radi (com en un col·lapse), la velocitat angular augmenta per compensar el canvi en el moment d'inèrcia.

6. Exemples i Aplicacions Pràctiques

6.1 Exemple: La Ballarina

Quan una ballarina gira amb els braços estirats, el seu moment d'inèrcia és elevat i la velocitat de rotació és baixa. En retreure els braços, el moment d'inèrcia disminueix i, per conservar el moment angular, la velocitat angular augmenta.

6.2 Exemple: El Giroscopi

Un giroscopi és un dispositiu que aprofita la conservació del moment angular per mantenir una orientació estable. Quan gira a gran velocitat, la seva direcció de rotació roman pràcticament constant, i si s'aplica un parell, el sistema respon amb un moviment de precessió.

6.3 Aplicacions Pràctiques

• Sistemes de navegació inercial: Satèl·lits, avions i vaixells utilitzen giroscopis per detectar canvis d'orientació sense dependre d'una referència externa.
• Estabilització de vehicles i dispositius mòbils: El principi de conservació del moment angular ajuda a mantenir l'estabilitat, per exemple, en bicicletes i en la rotació de pantalles.
• Disseny i control de satèl·lits: Mitjançant rodes de reacció i molletons, els satèl·lits ajusten la seva orientació sense necessitat d'utilitzar combustible.
• Esports i actuació: Els atletes aprofiten la reducció del moment d'inèrcia per augmentar la velocitat de rotació en girs o salts.