Aquest document explica, de manera didàctica, com es pot modelitzar el col·lapse gravitacional d'una estrella massiva que es converteix en una estrella de neutrons, aplicant la conservació del moment angular. També es compara el resultat idealitzat amb les observacions reals.
Suposem que, abans del col·lapse, l'estrella té:
Després del col·lapse, l'estrella de neutrons té un radi de:
La hipòtesi clau és que, sense pèrdues importants, el moment angular es conserva:
\[ I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2, \]on el moment d'inèrcia d'una esfera uniforme és:
\[ I = \frac{2}{5} M R^2. \]Cancel·lant factors comuns, s'obté:
\[ R_1^2\, \omega_1 = R_2^2\, \omega_2 \quad \Longrightarrow \quad \omega_2 = \omega_1 \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2. \]La velocitat angular es relaciona amb el període per:
\[ \omega_1 = \frac{2\pi}{P_1}. \]Convertim \(5\) dies a segons:
\[ P_1 = 5 \times 24 \times 3600 = 432000\, \text{s}. \]Per tant:
\[ \omega_1 = \frac{2\pi}{432000} \approx 1.454 \times 10^{-5}\, \text{rad/s}. \]Substituïm les dades a la relació:
\[ \omega_2 = \omega_1 \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2. \]Amb \( R_1 = 5 \times 10^5\, \text{km} \) i \( R_2 = 10\, \text{km} \):
\[ \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2 = \left(\frac{5 \times 10^5}{10}\right)^2 = \left(5 \times 10^4\right)^2 = 2.5 \times 10^9. \]Així:
\[ \omega_2 \approx 1.454 \times 10^{-5} \times 2.5 \times 10^9 \approx 3.64 \times 10^4\, \text{rad/s}. \]Una revolució completa correspon a \(2\pi\) radians, per tant:
\[ \text{rev/s} = \frac{\omega_2}{2\pi} \approx \frac{3.64 \times 10^4}{6.283} \approx 5798\, \text{rev/s}. \]Arrodonint, obtenim aproximadament 5800 revolucions per segon.
Tot i que el càlcul idealitzat donaria una rotació de 5800 rev/s, en la realitat es produeixen diversos mecanismes de pèrdua de moment angular:
Per exemple, el pulsar més ràpid conegut, PSR J1748-2446ad, gira a aproximadament 716 rev/s, molt inferior als 5800 rev/s teòrics.
Abans que les forces centrífuges facin que un pulsar es desintegri, la força gravitacional a l'equador ha de ser igual a la força centrífuga. Aquesta condició es pot expressar com:
\[ \frac{GM}{R^2} = \omega_{\text{max}}^2\,R. \]Aïllant \(\omega_{\text{max}}\):
\[ \omega_{\text{max}} = \sqrt{\frac{GM}{R^3}}. \]El període mínim corresponent és:
\[ P_{\text{min}} = \frac{2\pi}{\omega_{\text{max}}} = 2\pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}}. \]Per convertir la velocitat angular a revolucions per segon, es fa:
\[ f = \frac{\omega_{\text{max}}}{2\pi}, \]i les revolucions per minut (rpm) s'obtenen multiplicant per 60:
\[ \text{rpm} = f \times 60. \]Considerem els següents valors per a un pulsar:
Primer, calculem \(GM\):
\[ GM \approx 6.67 \times 10^{-11} \times 2.785 \times 10^{30} \approx 1.857 \times 10^{20}\, \text{m}^3\text{s}^{-2}. \]I el cub del radi:
\[ R^3 = (1.5 \times 10^4)^3 \approx 3.375 \times 10^{12}\, \text{m}^3. \]Substituïnt:
\[ \omega_{\text{max}} \approx \sqrt{\frac{1.857 \times 10^{20}}{3.375 \times 10^{12}}} \approx \sqrt{5.504 \times 10^7} \approx 7419\, \text{rad/s}. \]Convertint a rev/s:
\[ f \approx \frac{7419}{2\pi} \approx \frac{7419}{6.283} \approx 1180\, \text{rev/s}, \]i a revolucions per minut:
\[ \text{rpm} \approx 1180 \times 60 \approx 70\,800\, \text{rpm}. \]Així, el límit teòric de rotació d'un pulsar és d'aproximadament 72.000 rpm.
La conservació del moment angular és conseqüència de la simetria rotacional del sistema. Si un cos canvia de configuració (per exemple, durant el col·lapse d'una estrella) i no hi ha parells externs, tenim:
\[ L = I\,\omega = \text{constant}. \]Per a un sistema que passa d'una situació inicial \((R_1, \omega_1)\) a una final \((R_2, \omega_2)\), es compleix:
\[ I_1\,\omega_1 = I_2\,\omega_2. \]Utilitzant el moment d'inèrcia d'una esfera uniforme \( I = \frac{2}{5} M R^2 \) i cancel·lant els termes comuns, obtenim:
\[ R_1^2\,\omega_1 = R_2^2\,\omega_2 \quad \Longrightarrow \quad \omega_2 = \omega_1 \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2. \]Aquesta expressió mostra clarament que, en disminuir el radi (com en un col·lapse), la velocitat angular augmenta per compensar el canvi en el moment d'inèrcia.
Quan una ballarina gira amb els braços estirats, el seu moment d'inèrcia és elevat i la velocitat de rotació és baixa. En retreure els braços, el moment d'inèrcia disminueix i, per conservar el moment angular, la velocitat angular augmenta.
Un giroscopi és un dispositiu que aprofita la conservació del moment angular per mantenir una orientació estable. Quan gira a gran velocitat, la seva direcció de rotació roman pràcticament constant, i si s'aplica un parell, el sistema respon amb un moviment de precessió.