Tenim una cubeta de massa \( m = 1.53 \) kg penjada d'una corda lligada a una politja de radi \( R = 0.330 \) m i moment d'inèrcia \( I = 0.385 \) kg·m². La corda és inextensible i no llisca sobre la politja. Existeix un parell de fricció \( \tau_{fr} = 1.10 \) N·m a l'eix. Es demana calcular l'acceleració lineal de la cubeta i l'acceleració angular de la politja.
Les forces que actuen sobre la cubeta són el seu pes \( mg \) cap avall i la tensió \( F_T \) de la corda cap amunt. Aplicant la segona llei de Newton:
\[ mg - F_T = ma \]On \( a \) és l'acceleració lineal de la cubeta (positiva cap avall).
A la politja, la tensió \( F_T \) exerceix un moment respecte al seu centre, i també hi ha un moment de fricció \( \tau_{fr} \):
\[ I\alpha = F_T R - \tau_{fr} \]On \( \alpha \) és l'acceleració angular de la politja.
Com que la corda no llisca, la relació entre acceleració lineal i angular és:
\[ a = R\alpha \]Substituint \( \alpha = \frac{a}{R} \) a l'equació de moment:
\[ I\frac{a}{R} = F_T R - \tau_{fr} \]De l'equació de forces sobre la cubeta, podem aïllar \( F_T \):
\[ F_T = mg - ma \]Substituint aquesta expressió a l'equació de moment:
\[ I\frac{a}{R} = (mg - ma)R - \tau_{fr} \]Multiplicant per \( R \):
\[ Ia = mgR^2 - maR^2 - R\tau_{fr} \]Reagrupant els termes amb \( a \):
\[ Ia + maR^2 = mgR^2 - R\tau_{fr} \] \[ a(I + mR^2) = mgR^2 - R\tau_{fr} \]Finalment:
\[ a = \frac{mgR^2 - R\tau_{fr}}{I + mR^2} = \frac{mgR - \tau_{fr}}{I + mR^2/R^2} = \frac{mgR - \tau_{fr}}{I + mR^2} \]Substituint els valors numèrics:
\[ a = \frac{(1.53)(9.81)(0.330) - 1.10}{0.385 + (1.53)(0.330)^2} \] \[ a = \frac{4.95 - 1.10}{0.385 + 0.167} = \frac{3.85}{0.552} = 6.98 \text{ m/s}^2 \]L'acceleració angular corresponent és:
\[ \alpha = \frac{a}{R} = \frac{6.98}{0.330} = 21.15 \text{ rad/s}^2 \]L'energia cinètica d'un cos en rotació ve donada per:
\[ E_{k,rot} = \frac{1}{2}I\omega^2 \]Aquesta expressió és anàloga a l'energia cinètica de translació \( E_{k,trans} = \frac{1}{2}mv^2 \), establint un paral·lelisme entre els paràmetres de moviment lineal i rotacional.
Hem determinat que l'acceleració lineal de la cubeta és \( a = 6.98 \text{ m/s}^2 \) cap avall, i l'acceleració angular de la politja és \( \alpha = 21.15 \text{ rad/s}^2 \). Aquests resultats tenen en compte tant la força gravitatòria sobre la cubeta com la fricció a l'eix de la politja.
Cal observar que la tensió a la corda \( F_T = mg - ma = 15.0 - (1.53)(6.98) = 4.32 \text{ N} \) és menor que el pes de la cubeta, com és d'esperar en un sistema accelerat.