Amb freqüència, els astrònoms detecten estrelles que giren molt ràpidament, anomenades estrelles de neutrons. Aquestes es formen quan el nucli d'una estrella més gran es col·lapsa per la seva pròpia gravetat, reduint-se a un radi molt petit i augmentant la seva densitat.
Suposem que el nucli d'una estrella, abans de col·lapsar-se, té la mida del Sol, amb un radi \( R_1 = 7 \times 10^5 \) km i una massa que és 2.0 vegades la massa del Sol. Aquesta estrella gira inicialment amb una velocitat angular corresponent a una revolució cada 10 dies.
Quan l'estrella col·lapsa en una estrella de neutrons amb un radi de \( R_2 = 10 \) km, quina serà la seva nova velocitat de rotació?
Com que el sistema està aïllat (sense forces externes), es conserva el moment angular. L'expressió del moment angular d'una esfera uniforme és:
\[ L = I \omega \]On \( I \) és el moment d'inèrcia d'una esfera uniforme, donat per:
\[ I = \frac{2}{5} M R^2 \]Aplicant la conservació del moment angular:
\[ I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2 \]Substituint \( I = \frac{2}{5} M R^2 \):
\[ \frac{2}{5} M R_1^2 \omega_1 = \frac{2}{5} M R_2^2 \omega_2 \]Cancel·lant termes comuns:
\[ R_1^2 \omega_1 = R_2^2 \omega_2 \]Despejant \( \omega_2 \):
\[ \omega_2 = \omega_1 \frac{R_1^2}{R_2^2} \]Cal convertir \( \omega_1 \) a unitats de rad/s. La velocitat angular inicial és:
\[ \omega_1 = \frac{1 \text{ rev}}{10 \text{ dies}} = \frac{1}{10 \times 24 \times 3600} \text{ rev/s} \] \[ \omega_1 = \frac{1}{864000} \text{ rev/s} = \frac{2\pi}{864000} \text{ rad/s} \]Substituint les dades:
\[ \omega_2 = \left(\frac{2\pi}{864000} \right) \times \left(\frac{(7 \times 10^5)^2}{(10)^2} \right) \] \[ \omega_2 = \left(\frac{2\pi}{864000} \right) \times \left(\frac{4.9 \times 10^{11}}{100} \right) \] \[ \omega_2 \approx 6 \times 10^3 \text{ rev/s} \]Després del col·lapse gravitacional, l'estrella de neutrons gira aproximadament a 6000 revolucions per segon.