Fórmules generals amb valors concrets per a la velocitat final
Suposem un pla inclinat amb altura vertical \( H \) i acceleració per la gravetat \( g \). Tots els objectes parteixen del repòs.
Considerem els següents objectes:
- Caixa engrasada (objecte lliscant)
- Canica esfèrica (objecte rodant, amb \( k=0.4 \))
- Cilindre sòlid (objecte rodant, amb \( k=0.5 \))
- Llauna de beguda de cola (objecte rodant, amb \( k\approx0.9 \))
1. Objecte que llisca (sense girar)
Sense fricció
\( mgH = \frac{1}{2} m v^2 \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{2gH} \)
Amb fricció cinètica
Si el pla té angle \( \theta \) i un coeficient de fricció cinètica \( \mu_k \), la distància recorreguda és
\( d=\frac{H}{\sin\theta} \). La força de fricció és
\( f_k = \mu_k\, mg\cos\theta \) i el treball dissipatiu per fricció:
\( W_f = \mu_k\, mg\cos\theta\,\frac{H}{\sin\theta} = \mu_k\,mgH\,\cot\theta \)
L’equació d’energia és:
\( mgH - \mu_k\,mgH\,\cot\theta = \frac{1}{2} m v^2 \)
Per tant, la velocitat final és:
\( v = \sqrt{2gH \Bigl( 1 - \mu_k\,\cot\theta \Bigr)} \)
2. Objectes que roden sense deslizar
La conservació de l’energia per a un objecte rodant sense deslizar, on la fricció estàtica no dissipa energia, és:
\( mgH = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} I\,\omega^2 \)
Utilitzant la condició \( v = \omega R \) i expressant el moment d’inèrcia com \( I = k\,mR^2 \), obtenim:
\( mgH = \frac{1}{2} m v^2 (1+k) \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2gH}{1+k}} \)
Si es consideren pèrdues per fricció rodant (amb coeficient \( \mu_r \)), el treball dissipatiu seria similar a:
\( W_f = \mu_r\,mgH\,\cot\theta \)
I l’equació d’energia es modifica a:
\( mgH - \mu_r\,mgH\,\cot\theta = \frac{1}{2} m v^2 (1+k) \)
De manera que la velocitat final amb pèrdues és:
\( v = \sqrt{\frac{2gH\Bigl( 1 - \mu_r\,\cot\theta \Bigr)}{1+k}} \)
Ara, substituïm els valors concrets per a cada objecte rodant:
A) Canica esfèrica (\( k=0.4 \))
-
Sense fricció (rodant ideal):
\( v = \sqrt{\frac{2gH}{1+0.4}} = \sqrt{\frac{2gH}{1.4}} \)
-
Amb fricció rodant:
\( v = \sqrt{\frac{2gH\Bigl( 1 - \mu_r\,\cot\theta \Bigr)}{1.4}} \)
B) Cilindre sòlid (\( k=0.5 \))
-
Sense fricció (rodant ideal):
\( v = \sqrt{\frac{2gH}{1+0.5}} = \sqrt{\frac{2gH}{1.5}} \)
-
Amb fricció rodant:
\( v = \sqrt{\frac{2gH\Bigl( 1 - \mu_r\,\cot\theta \Bigr)}{1.5}} \)
C) Llauna de beguda de cola (\( k\approx0.9 \))
-
Sense fricció (rodant ideal):
\( v = \sqrt{\frac{2gH}{1+0.9}} = \sqrt{\frac{2gH}{1.9}} \)
-
Amb fricció rodant:
\( v = \sqrt{\frac{2gH\Bigl( 1 - \mu_r\,\cot\theta \Bigr)}{1.9}} \)
D) Caixa engrasada (objecte lliscant)
Aquestes són les fórmules generals per a la velocitat final, amb els valors concrets per a cada objecte.