Un Rover lunar està equipat amb rodes fetes de l'aliatge superelàstic Ti-Al-Cr, que combina lleugeresa i resistència mecànica, permetent resistir condicions extremes de la Lluna (-150°C a 120°C).
Aquest Rover lunar utilitza un tren d’engranatges i politges per transmetre el moviment del motor a les rodes. Es vol calcular:
Les dades del Rover i del material són:
Es demana calcular:
Considerem una roda modelada com un cilindre buit, és a dir, com la diferència entre un cilindre complet (de radi extern R) i un cilindre interior (de radi R - t), amb una amplada w.
El volum del cilindre extern és:
\[ V_{\text{ext}} = \pi R^2 w \]
El volum del cilindre interior és:
\[ V_{\text{int}} = \pi (R-t)^2 w \]
Així, el volum del material (cilindre buit) és la diferència:
\[ V = V_{\text{ext}} - V_{\text{int}} = \pi w \left(R^2 - (R-t)^2\right) \]
Expandeixem el terme \((R-t)^2\):
\[ (R-t)^2 = R^2 - 2Rt + t^2 \]
Substituïm a la fórmula:
\[ V = \pi w \Bigl(R^2 - \bigl(R^2 - 2Rt + t^2\bigr)\Bigr) = \pi w \left(2Rt - t^2\right) \]
Utilitzant els valors donats: \(R = 0.3\,\text{m}\), \(w = 0.1\,\text{m}\) i \(t = 0.005\,\text{m}\):
Primer, calculem \(2Rt\) i \(t^2\):
Llavors:
\[ 2Rt - t^2 = 0.003 - 0.000025 = 0.002975 \]
I el volum exacte és:
\[ V = \pi \times 0.1 \times 0.002975 \approx 0.000935\, \text{m}^3 \]
Quan \(t \ll R\), el terme \(t^2\) és molt petit en relació amb \(2Rt\) i es pot despreciar. Llavors la fórmula s'aproxima a:
\[ V \approx \pi w (2Rt) = 2\pi Rwt \]
Substituïm els mateixos valors:
\[ V \approx 2\pi \times 0.3 \times 0.1 \times 0.005 = 2\pi \times 0.00015 = 0.00094248\, \text{m}^3 \]
Com que la densitat de l'aliatge és \(\rho = 4360\,\text{kg/m}^3\), la massa de cada roda és:
Càlcul Exacte:
\[ m_r = \rho V \approx 4360 \times 0.000935 \approx 4.08\, \text{kg} \]
Càlcul Aproximat:
\[ m_r \approx 4360 \times 0.00094248 \approx 4.11\, \text{kg} \]
Els dos càlculs donen resultats molt similars, amb una diferència molt petita deguda al terme \(t^2\). Per a valors on \(t\) és realment molt petit comparat amb \(R\), la simplificació és vàlida i la massa de cada roda és d'aproximadament 4.11 kg.
\[ KE_t = \frac{1}{2} M v^2 \]
\[ KE_t = \frac{1}{2} (250) (3)^2 = 1125 \, \text{J} \]
Assumint que cada roda es modela com un cilindre buit (mur prim), el seu moment d’inèrcia és \( I = m_r R^2 \) i, amb \( \omega = \frac{v}{R} \), l’energia cinètica rotacional per roda és: \[ KE_r = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} m_r R^2 \left(\frac{v}{R}\right)^2 = \frac{1}{2} m_r v^2 \]
La energia cinètica rotacional total per a les 4 rodes és: \[ KE_{\text{total, rotacional}} = 4 \times \frac{1}{2} m_r v^2 = 2 m_r v^2 \]
Substituïm els valors: \[ KE_{\text{total, rotacional}} = 2 \times (4.11)(3)^2 = 2 \times 4.11 \times 9 = 73.98 \, \text{J} \]
\[ KE_{\text{total}} = KE_t + KE_{\text{total, rotacional}} \]
\[ KE_{\text{total}} = 1125 + 73.98 \approx 1198.98 \, \text{J} \]
Per a cada roda (cilindre buit): \[ L = I \omega = m_r R^2 \left(\frac{v}{R}\right) = m_r R v \]
Llavors, el moment angular total per a les 4 rodes és: \[ L_{\text{total}} = 4 m_r R v = 4 (4.11)(0.3)(3) \approx 14.80 \, \text{kg·m}^2/\text{s} \]
Com que el desplaçament es calcula com:
\[ d = \frac{1}{2} a t^2 \] \[ d = \frac{1}{2} (0.4) (5)^2 = 5 \text{ m} \] \[ W = (100)(5) = 500 \text{ J} \]El pes del Rover a la Lluna és:
\[ F_g = M g_{\text{Lluna}} = 250 \times 1.62 = 405 \text{ N} \]Distribuït entre 4 rodes:
\[ F_r = \frac{405}{4} = 101.25 \text{ N} \]La tensió mecànica a la roda és:
\[ \sigma = \frac{F_r}{A} \] \[ A = 2 \pi R t = 2 \pi (0.3)(0.005) = 0.00942 \text{ m}^2 \] \[ \sigma = \frac{101.25}{0.00942} = 10.75 \text{ MPa} \]Com que \( \sigma = 10.75 \) MPa és molt menor que \( \sigma_{\text{max}} = 800 \) MPa, el material suporta perfectament la càrrega.
La deformació és:
\[ \epsilon = \frac{\sigma}{E} \] \[ \epsilon = \frac{10.75 \times 10^6}{30 \times 10^9} = 0.00036 = 0.036\% \]Aquesta deformació és extremadament petita, molt menor que el 7.3% recuperable.
La velocitat angular de les rodes es calcula amb la relació de transmissió:
\[ \omega_r = \frac{\omega_m}{r_t} \] \[ \omega_r = \frac{3000}{10} = 300 \text{ rpm} = 31.42 \text{ rad/s} \]El parell transmès a les rodes és:
\[ T_r = T_m \times r_t \] \[ T_r = 50 \times 10 = 500 \text{ Nm} \]El parell necessari per vèncer la força gravitatòria a la pendent de 15° es calcula amb la següent fórmula:
\[ T_{\text{min}} = M g_{\text{Lluna}} R \sin(15^\circ) \] Substituint els valors: \[ T_{\text{min}} = (250)(1.62)(0.3) \sin(15^\circ) \] \[ T_{\text{min}} = 31.5 \, \text{Nm} \]Com que el parell disponible \( T_r = 500 \, \text{Nm} \) és molt superior a \( T_{\text{min}} = 31.5 \, \text{Nm} \), el Rover pot pujar la pendent sense cap problema.
La força de fricció màxima disponible a la pendent de 15° és:
\[ F_{\text{fricció}} = \mu M g_{\text{Lluna}} \cos(15^\circ) \] Substituint els valors: \[ F_{\text{fricció}} = (0.5)(250)(1.62)\cos(15^\circ) \] \[ F_{\text{fricció}} = 196.6 \, \text{N} \]Aquesta força de fricció es pot utilitzar per accelerar el Rover, contrarestar la component gravitatòria i generar moviment a la pendent.
Per calcular l'acceleració màxima que es pot aconseguir a la pendent, utilitzem la següent equació:
\[ F_{\text{fricció}} = M a_{\text{max}} + F_{\text{grav}} \] On \( F_{\text{grav}} \) és la component de la força gravitatòria sobre la pendent, que ja hem calculat anteriorment: \[ F_{\text{grav}} = M g_{\text{Lluna}} \sin(15^\circ) = 104.7 \, \text{N} \] Ara, podem aïllar l'acceleració màxima \( a_{\text{max}} \): \[ a_{\text{max}} = \frac{F_{\text{fricció}} - F_{\text{grav}}}{M} \] Substituint els valors: \[ a_{\text{max}} = \frac{196.6 - 104.7}{250} \] \[ a_{\text{max}} = \frac{91.9}{250} = 0.3676 \, \text{m/s}^2 \]Així que l'acceleració màxima possible a la pendent de 15° amb la força de fricció disponible és 0.3676 m/s². No podem anar a màxima acceleració perquè lliscarien les rodes. Si no volem reduir la inclinació hem d'augmentar el coeficient de fricció millorant el disseny de contacte de les rodes al terra lunar.
Per calcular la massa màxima que poden suportar les rodes abans d'arribar al límit de tensió del material, utilitzem la següent relació:
\[ \sigma = \frac{F}{A} \Rightarrow M_{\text{max}} = \frac{\sigma_{\text{max}} A}{g_{\text{Lluna}}} \] On \( A = 0.00942 \, \text{m}^2 \) és l'àrea de la secció transversal de la roda. Substituïm els valors: \[ M_{\text{max}} = \frac{(800 \times 10^6)(0.00942)}{1.62} \] \[ M_{\text{max}} = 4.65 \times 10^6 \, \text{kg} \]Això indica que el material pot suportar una massa molt superior a la del Rover, que és de només 250 kg. La massa màxima que el Rover pot transportar abans de sobrepassar la resistència del material és de 4.65 × 10⁶ kg.
Considerant que el que es dilata són les rodes (radi \( R = 0.3 \) m), la dilatació lineal es calcula amb la fórmula:
\[ \Delta L = \alpha L \Delta T \]
Amb \( \Delta T = 270 \) K (de -150°C a 120°C) i prenent com a longitud característica el radi de la roda (\( L = 0.3 \) m):
\[ \Delta L = (10^{-5}) (0.3) (270) \approx 0.00081 \text{ m} \]
El canvi és molt petit (aproximadament 0.8 mm), per tant, el material no patirà falles per expansió tèrmica.
Pas 1: Calcular el pes del vehicle a la Lluna.
\[ W_{\text{luna}} = m \cdot g_{\text{luna}} = 250 \, \text{kg} \cdot 1.62 \, \text{m/s}^2 = 405 \, \text{N} \]Pas 2: Calcular la força de fricció.
\[ F_{\text{fricció}} = \mu \cdot W_{\text{luna}} = 0.5 \cdot 405 \, \text{N} = 202.5 \, \text{N} \]Pas 3: Calcular la potència necessària per mantenir la velocitat constant de 3 m/s.
\[ P_{\text{fricció}} = F_{\text{fricció}} \cdot v = 202.5 \, \text{N} \cdot 3 \, \text{m/s} = 607.5 \, \text{W} \]La potència es calcula multiplicant la força de fricció per la velocitat perquè, en condicions de moviment constant, la principal resistència que el motor ha de superar és la fricció de rodadura. Altres dades com l'acceleració o l'energia cinètica són rellevants per a canvis en el moviment (per exemple, per accelerar o per moure càrregues), però quan el rover manté una velocitat constant, no s'està generant energia addicional per augmentar la velocitat, sinó només per contrarestar la pèrdua d'energia deguda a la fricció. Així, aquest càlcul reflecteix directament la quantitat de treball que s'ha de fer contínuament per mantenir el moviment enfront de la resistència que actua sobre el vehicle.
Compara la potència necessària per superar la resistència a la rodadura amb la potència del motor del Rover i calcula el rendiment del sistema.
La potència del motor es calcula a partir del seu parell \( T \) i la seva velocitat angular \( \omega \) mitjançant la fórmula:
$$ P = T \cdot \omega $$
On:
La velocitat del motor es dona en revolucions per minut (rpm) i s'ha de convertir a rad/s. La conversió és:
$$ \omega = \text{rpm} \times \frac{2\pi}{60} $$
Amb \( \text{rpm} = 3000 \):
$$ \omega = 3000 \times \frac{2\pi}{60} \approx 3000 \times 0.10472 \approx 314.16 \, \text{rad/s} $$
Substituint els valors en la fórmula de la potència:
$$ P = 50 \, \text{Nm} \times 314.16 \, \text{rad/s} \approx 15708 \, \text{W} $$
Per tant, la potència teòrica màxima del motor és d'aproximadament 15.7 kW.
D'altra banda, en el context del problema es requereix mantenir el rover en moviment a 3 m/s, per la qual cosa la potència necessària per superar la resistència a la rodadura és:
$$ P_{\text{fricció}} = F_{\text{fricció}} \cdot v $$
Amb \( F_{\text{fricció}} = 243.75 \, \text{N} \) i \( v = 3 \, \text{m/s} \):
$$ P_{\text{fricció}} = 243.75 \, \text{N} \times 3 \, \text{m/s} \approx 731.25 \, \text{W} $$
Així, el rendiment global del sistema és:
$$ \eta = \frac{P_{\text{fricció}}}{P_{\text{motor}}} = \frac{731.25}{15708} \approx 0.0465 \quad (4.65\%) $$
Song, Y. et al. A lightweight shape-memory alloy with superior temperature-fluctuation resistance. Nature 638, 965–971 (2025).