En aquest document es demostra, pas a pas, com calcular el moment d’inèrcia de diferents formes geomètriques mitjançant integrals. Recordem que la fórmula general és:
$$ I = \int r^2\, dm $$
on \( r \) és la distància d’un element de massa \( dm \) respecte a l’eix de rotació.
Derivar el moment d’inèrcia d’un cilindre sòlid de radi \( R \), altura \( h \) i massa \( M \) respecte a l’eix central (eix \( z \)).
En coordenades cilíndriques el volum diferencial és:
$$ dV = r\, dr\, d\theta\, dz $$
La densitat uniformement distribuïda és:
$$ \rho = \frac{M}{\pi R^2 h} $$
Per tant, l’element de massa és:
$$ dm = \rho\, dV = \rho\, r\, dr\, d\theta\, dz $$
La distància a l’eix és \( r \), per tant:
$$ I = \int_{z=0}^{h} \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{R} r^2\, dm $$ $$ = \rho \int_{z=0}^{h} \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{R} r^2 \cdot r\, dr\, d\theta\, dz $$
Simplificant:
$$ I = \rho \int_{0}^{h} dz \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{R} r^3\, dr $$
$$ I = \rho \cdot h \cdot 2\pi \cdot \frac{R^4}{4} = \frac{1}{2}\rho\,\pi\, h\, R^4 $$
Substituïm la densitat:
$$ \rho = \frac{M}{\pi R^2 h} $$
obtenint:
$$ I = \frac{1}{2} \cdot \frac{M}{\pi R^2 h} \cdot \pi\, h\, R^4 = \frac{1}{2} M R^2 $$
El moment d’inèrcia del cilindre ple és:
$$ I_{\text{ple}} = \frac{1}{2} M R^2 $$
Aquestes derivacions mostren com la distribució de la massa influeix en el moment d’inèrcia: com més allunyada estigui la massa de l’eix, major serà el seu efecte en el càlcul del moment.