El moment d'inèrcia es defineix com:
$$ I = \int r^2 \, dm $$
La densitat de volum és:
$$ \rho = \frac{M}{\pi R^2 h} $$
Un element de massa diferencial és:
$$ dm = \rho \cdot dV = \rho \cdot (2\pi r h \, dr) $$
Substituint a la integral:
$$ I_{\text{ple}} = \int_0^R r^2 (\rho \cdot 2\pi r h \, dr) $$
Resolem la integral:
$$ I_{\text{ple}} = 2\pi \rho h \int_0^R r^3 \, dr = 2\pi \rho h \cdot \frac{R^4}{4} $$
Substituint \( \rho \):
$$ I_{\text{ple}} = \frac{1}{2} M R^2 $$
Si tota la massa està a \( R \), tenim:
$$ I_{\text{buit}} = M R^2 $$
Comparant amb el cilindre ple:
$$ I_{\text{buit}} = 2 I_{\text{ple}} $$
Per un cilindre buit amb radi intern \( R_1 \) i extern \( R_2 \), la densitat de volum és:
$$ \rho = \frac{M}{\pi (R_2^2 - R_1^2) h} $$
Integrant de \( R_1 \) a \( R_2 \):
$$ I_{\text{gruixut}} = 2\pi \rho h \int_{R_1}^{R_2} r^3 \, dr $$
Resolent:
$$ I_{\text{gruixut}} = \frac{1}{2} M (R_1^2 + R_2^2) $$