En aquest document es demostra, pas a pas, com calcular el moment d’inèrcia de diferents formes geomètriques mitjançant integrals. Recordem que la fórmula general és:
$$ I = \int r^2\, dm, $$
on \( r \) és la distància d’un element de massa \( dm \) respecte a l’eix de rotació.
Derivar el moment d’inèrcia d’un cilindre sòlid de radi \( R \), altura \( h \) i massa \( M \) respecte a l’eix central (eix \( z \)).
En coordenades cilíndriques el volum diferencial és:
$$ dV = r\, dr\, d\theta\, dz. $$
La densitat uniformement distribuïda és:
$$ \rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{\pi R^2 h}. $$
Per tant, l’element de massa és:
$$ dm = \rho\, dV = \rho\, r\, dr\, d\theta\, dz. $$
La distància a l’eix és \( r \), per tant:
$$ I = \int_{z=0}^{h} \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{R} r^2\, dm = \rho \int_{z=0}^{h} \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{R} r^2 \cdot r\, dr\, d\theta\, dz. $$
Simplificant:
$$ I = \rho \int_{0}^{h} dz \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{R} r^3\, dr. $$
$$ I = \rho \cdot h \cdot 2\pi \cdot \frac{R^4}{4} = \frac{1}{2}\rho\,\pi\, h\, R^4. $$
Substituïm la densitat:
$$ \rho = \frac{M}{\pi R^2 h}, $$
obtenint:
$$ I = \frac{1}{2} \cdot \frac{M}{\pi R^2 h} \cdot \pi\, h\, R^4 = \frac{1}{2} M R^2. $$
El moment d’inèrcia del cilindre ple és:
$$ I_{\text{ple}} = \frac{1}{2} M R^2. $$
Trobar el moment d’inèrcia d’un cilindre buit (o tub) de radi \( R \) i massa \( M \), on tota la massa es troba a la perifèria.
Si tota la massa està concentrada a una distància constant \( R \) de l’eix, cada element de massa té la mateixa contribució, \( r^2 = R^2 \). Per tant:
$$ I = \int r^2\, dm = R^2 \int dm = M R^2. $$
El moment d’inèrcia del cilindre buit és:
$$ I_{\text{buit}} = M R^2. $$
Derivar el moment d’inèrcia d’una esfera sòlida de radi \( R \) i massa \( M \) respecte a un eix que passa pel centre (per exemple, l’eix \( z \)).
En coordenades esfèriques, el volum diferencial és:
$$ dV = r^2 \sin\theta\, dr\, d\theta\, d\phi. $$
La densitat uniformement distribuïda és:
$$ \rho = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}. $$
Així, l’element de massa és:
$$ dm = \rho\, dV = \rho\, r^2 \sin\theta\, dr\, d\theta\, d\phi. $$
Per una part situada a \( r \) amb angle \( \theta \) (mesurat des de l’eix \( z \)), la distància a l’eix és:
$$ r_\perp = r\sin\theta. $$
El moment d’inèrcia és:
$$ I = \int_V (r\sin\theta)^2\, dm = \rho \int_{0}^{R}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi} (r\sin\theta)^2 \, r^2 \sin\theta\, d\phi\, d\theta\, dr. $$
Agrupant els termes:
$$ I = \rho \int_{0}^{R} r^4\, dr \int_{0}^{\pi} \sin^3\theta\, d\theta \int_{0}^{2\pi} d\phi. $$
$$ I = \rho \cdot \frac{R^5}{5} \cdot \frac{4}{3} \cdot 2\pi = \frac{8\pi \rho R^5}{15}. $$
Sabent que la massa total de l’esfera és:
$$ M = \rho\, \frac{4}{3}\pi R^3 \quad \Longrightarrow \quad \rho = \frac{3M}{4\pi R^3}, $$
substituïm per obtenir:
$$ I = \frac{8\pi \cdot \frac{3M}{4\pi R^3} \, R^5}{15} = \frac{24MR^2}{60} = \frac{2}{5} M R^2. $$
El moment d’inèrcia de l’esfera plena és:
$$ I_{\text{esfera plena}} = \frac{2}{5} M R^2. $$
Aquestes derivacions mostren com la distribució de la massa influeix en el moment d’inèrcia: com més allunyada estigui la massa de l’eix, major serà el seu efecte en el càlcul del moment.