El moment d'inèrcia \( I \) respecte a un eix ve donat per la integral:
\[ I = \int r^2 \, dm \]
Considerem un cilindre massís de radi \( R \), altura \( h \) i massa total \( M \). La seva densitat de volum és:
\[ \rho = \frac{M}{\pi R^2 h} \]
En coordenades cilíndriques, un element diferencial de massa és:
\[ dm = \rho \, dV = \rho (2\pi r h \, dr) \]
Substituint a la integral del moment d’inèrcia:
\[ I_{\text{ple}} = \int_0^R r^2 (\rho \cdot 2\pi r h \, dr) \]
\[ I_{\text{ple}} = 2\pi \rho h \int_0^R r^3 \, dr \]
Resolem la integral:
\[ \int_0^R r^3 \, dr = \frac{R^4}{4} \]
Per tant:
\[ I_{\text{ple}} = 2\pi \rho h \cdot \frac{R^4}{4} \]
Substituint \( \rho = \frac{M}{\pi R^2 h} \):
\[ I_{\text{ple}} = \frac{1}{2} M R^2 \]
Si el cilindre és buit i prim, assumim que tota la massa es distribueix a un radi \( R \). Per tant:
\[ I_{\text{buit}} = M R^2 \]
Comparant amb el cilindre ple:
\[ I_{\text{buit}} = 2 I_{\text{ple}} \]
Això significa que el cilindre buit té el doble de moment d’inèrcia que el ple, fent-lo més resistent als canvis de moviment rotacional.