Problema de l'aigua: Del gel a vapor a 110°C amb sal

Enunciat del problema: Tenim 150 g de gel a -5°C, amb 15 g de sal que redueix la temperatura de fusió a -2°C. La pressió atmosfèrica redueix el punt d’ebullició a 95°C. Volem calcular quanta energia es necessita per escalfar aquest gel fins a vapor a 110°C utilitzant un dispositiu amb 600 W de potència i una eficiència del 90%.

Dades:

Massa del gel: \( m = 150 \, g \)
Temperatura inicial: \( T_{\text{inicial}} = -5^\circ C \)
Temperatura de fusió del gel amb sal: \( T_{\text{fusió}} = -2^\circ C \)
Temperatura de vaporització: \( T_{\text{ebullició}} = 95^\circ C \)
Temperatura final del vapor: \( T_{\text{final}} = 110^\circ C \)
Calor específic del gel: \( c_{\text{gel}} = 2.09 \, \text{J/g°C} \)
Calor específic de l'aigua: \( c_{\text{aigua}} = 4.18 \, \text{J/g°C} \)
Calor específic del vapor: \( c_{\text{vapor}} = 2.00 \, \text{J/g°C} \)
Calor latent de fusió: \( L_{\text{fusió}} = 334 \, \text{J/g} \)
Calor latent de vaporització: \( L_{\text{vaporització}} = 2260 \, \text{J/g} \)
Potència del dispositiu: \( P = 600 \, \text{W} \)
Eficiència del dispositiu: \( \eta = 90\% = 0.9 \)

Solució:

Dividirem el problema en diferents etapes segons el canvi d'estat de l'aigua:

1. Escalfament del gel de -5°C a -2°C

Utilitzem la fórmula del calor específic:

\[ Q_1 = m \cdot c_{\text{gel}} \cdot \Delta T = 150 \, g \cdot 2.09 \, \frac{J}{g^\circ C} \cdot ( -2^\circ C - (-5^\circ C) ) \] \[ Q_1 = 150 \cdot 2.09 \cdot 3 = 940.5 \, J \]

2. Fusió del gel a -2°C

Calculem l'energia necessària per fondre el gel utilitzant el calor latent de fusió:

\[ Q_2 = m \cdot L_{\text{fusió}} = 150 \, g \cdot 334 \, \frac{J}{g} \] \[ Q_2 = 50100 \, J \]

3. Escalfament de l'aigua de -2°C a 95°C

Ara escalfem l'aigua líquida de -2°C a 95°C:

\[ Q_3 = m \cdot c_{\text{aigua}} \cdot \Delta T = 150 \, g \cdot 4.18 \, \frac{J}{g^\circ C} \cdot ( 95^\circ C - (-2^\circ C) ) \] \[ Q_3 = 150 \cdot 4.18 \cdot 97 = 60861 \, J \]

4. Vaporització de l'aigua a 95°C

La vaporització requereix energia per canviar d'estat de líquid a vapor:

\[ Q_4 = m \cdot L_{\text{vaporització}} = 150 \, g \cdot 2260 \, \frac{J}{g} \] \[ Q_4 = 339000 \, J \]

5. Escalfament del vapor de 95°C a 110°C

Finalment, escalfem el vapor d'aigua des de 95°C fins a 110°C:

\[ Q_5 = m \cdot c_{\text{vapor}} \cdot \Delta T = 150 \, g \cdot 2.00 \, \frac{J}{g^\circ C} \cdot ( 110^\circ C - 95^\circ C ) \] \[ Q_5 = 150 \cdot 2.00 \cdot 15 = 4500 \, J \]

6. Energia total necessària

Ara sumem tota l'energia necessària per completar el procés:

\[ Q_{\text{total}} = Q_1 + Q_2 + Q_3 + Q_4 + Q_5 \] \[ Q_{\text{total}} = 940.5 \, J + 50100 \, J + 60861 \, J + 339000 \, J + 4500 \, J = 455401.5 \, J \]

7. Considerant l'eficiència del dispositiu

Com que l'eficiència és del 90%, l'energia necessària és:

\[ E_{\text{real}} = \frac{Q_{\text{total}}}{\eta} = \frac{455401.5 \, J}{0.9} = 505001.7 \, J \]

8. Càlcul del temps

Finalment, calculem quant temps triga el dispositiu de 600 W en generar aquesta energia:

\[ t = \frac{E_{\text{real}}}{P} = \frac{505001.7 \, J}{600 \, W} = 841.67 \, s \] \[ t \approx 14.03 \, \text{minuts} \]

Resposta final:

El dispositiu trigarà aproximadament 14 minuts a transformar els 150 g de gel a -5°C en vapor d'aigua a 110°C amb una eficiència del 90%.