Problema: Càlcul del volum d'un engranatge segons normes ISO

Enunciat:

Un engranatge cilíndric recte amb mòdul \( m = 4 \, \text{mm} \) i diàmetre primitiu \( d_p = 160 \, \text{mm} \) té dents amb les característiques següents:

1. Part inferior quadrada amb alçada \( 1.25m \)
2. Part superior curvada amb substitució dels costats per quarts de cercle de radi \( m/2 \)

Calculeu:
a) Nombre de dents \( z \)
b) Àrea de la secció transversal d'una dent
c) Volum total de l'engranatge (amplada = \( \pi m \))

Resolució pas a pas:

a) Nombre de dents

Relació fonamental dels engranatges:

\( d_p = m \cdot z \implies z = \frac{d_p}{m} = \frac{160}{4} = 40 \, \text{dents} \)

Resultat: \( \boxed{z = 40} \)

b) Àrea de la secció transversal

Geometria de la dent:

• Part inferior (quadrat):

  \( A_{\text{inf}} = m \cdot 1.25m = 4 \cdot 5 = 20 \, \text{mm}^2 \)

• Part superior (geometria composta):
  1. Àrea del quadrat original:

     \( A_{\text{quad}} = m^2 = 16 \, \text{mm}^2 \)

  2. Àrea dels rectangles a eliminar (2x):

     \( A_{\text{rect}} = 2 \left( \frac{m}{2} \cdot m \right) = 2 \cdot (2 \cdot 4) = 16 \, \text{mm}^2 \)

  3. Àrea dels quarts de cercle (2x):

     \( A_{\text{cercle}} = 2 \left( \frac{\pi (m/2)^2}{4} \right) = 2 \cdot \frac{\pi \cdot 4}{4} = 2\pi \, \text{mm}^2 \approx 6.28 \, \text{mm}^2 \)

  4. Àrea superior neta:

     \( A_{\text{sup}} = A_{\text{quad}} - A_{\text{rect}} + A_{\text{cercle}} = 16 - 16 + 6.28 = 6.28 \, \text{mm}^2 \)

Àrea total de la secció:

\( A_{\text{total}} = A_{\text{inf}} + A_{\text{sup}} = 20 + 6.28 = 26.28 \, \text{mm}^2 \)

Resultat: \( \boxed{A_{\text{secció}} = 26.28 \, \text{mm}^2} \)

c) Volum total

1. Amplada de la dent (circumferència primitiva per dent):

   \( \text{Amplada} = \frac{\pi d_p}{z} = \frac{\pi \cdot 160}{40} = 4\pi \, \text{mm} \approx 12.57 \, \text{mm} \)

2. Volum per dent:

   \( V_{\text{dent}} = A_{\text{total}} \cdot \text{Amplada} = 26.28 \cdot 12.57 \approx 330.34 \, \text{mm}^3 \)

3. Volum de l'engranatge:

   \( V_{\text{total}} = V_{\text{dent}} \cdot z = 330.34 \cdot 40 = 13\,213.6 \, \text{mm}^3 \)

Resultat: \( \boxed{V_{\text{total}} = 13\,213.6 \, \text{mm}^3} \)

Verificació ISO:

• Alçada total de la dent: \( 1.25m + m = 2.25m = 9 \, \text{mm} \), coherent amb ISO 53
• Radi de curvatura: \( m/2 = 2 \, \text{mm} \), com especifica ISO 701

Càlcul de PLA per imprimir engranatge en 3D

Enunciat:

Es vol imprimir un engranatge en 3D amb un volum total de:

\[ V_{\text{total}} = 13213.6 \, \text{mm}^3 \]

El filament utilitzat és de PLA amb les següents característiques:

• Diàmetre del filament: \( d = 1.75 \, \text{mm} \)
• Densitat del PLA: \( \rho = 1.25 \, \frac{\text{g}}{\text{cm}^3} = 1.25 \times 10^{-3} \, \frac{\text{g}}{\text{mm}^3} \)
• Preu del PLA: \( P = 25 \, \frac{\text{€}}{\text{kg}} = 0.025 \, \frac{\text{€}}{\text{g}} \)

Calculeu:

1. Massa total de PLA necessària.
2. Cost total del PLA.
3. Longitud total del filament necessari.

Resolució pas a pas:

1. Massa total de PLA necessària

La massa es calcula com:

\[ m = \rho \cdot V_{\text{total}} \]

Substituint els valors donats:

\[ m = 1.25 \times 10^{-3} \, \frac{\text{g}}{\text{mm}^3} \cdot 13213.6 \, \text{mm}^3 = 16.517 \, \text{g} \]

2. Cost total del PLA

El cost es calcula com:

\[ \text{Preu} = m \cdot P \]

Substituint els valors donats:

\[ \text{Preu} = 16.517 \, \text{g} \cdot 0.025 \, \frac{\text{€}}{\text{g}} = 0.4129 \, \text{€} \]

3. Longitud total del filament necessari

El volum del filament es pot expressar com:

\[ V_{\text{filament}} = \pi \cdot r^2 \cdot L \]

On \( r = \frac{d}{2} = 0.875 \, \text{mm} \). Despejant \( L \):

\[ L = \frac{V_{\text{total}}}{\pi \cdot r^2} \]

Substituint els valors donats:

\[ L = \frac{13213.6}{\pi \cdot (0.875)^2} = \frac{13213.6}{\pi \cdot 0.765625} = \frac{13213.6}{2.40528} = 5493.52 \, \text{mm} \]

Convertint a metres:

\[ L = 5493.52 \, \text{mm} = 5.49352 \, \text{m} \]

Resultats finals:

• Massa de PLA necessària: \( m = 16.517 \, \text{g} \)

Problema: Càlcul del volum d'un engranatge segons normes ISO

Enunciat:

Un engranatge cilíndric recte amb mòdul \( m = 4 \, \text{mm} \) i diàmetre primitiu \( d_p = 160 \, \text{mm} \) té dents amb les característiques següents:

1. Part inferior quadrada amb alçada \( 1.25m \)
2. Part superior curvada amb substitució dels costats per quarts de cercle de radi \( m/2 \)

Calculeu:
a) Nombre de dents \( z \)
b) Àrea de la secció transversal d'una dent
c) Volum total de l'engranatge (amplada = \( \pi m \))

Resolució pas a pas:

a) Nombre de dents

Relació fonamental dels engranatges:

\( d_p = m \cdot z \implies z = \frac{d_p}{m} = \frac{160}{4} = 40 \, \text{dents} \)

Resultat: \( \boxed{z = 40} \)

b) Àrea de la secció transversal

Geometria de la dent:

• Part inferior (quadrat):

  \( A_{\text{inf}} = m \cdot 1.25m = 4 \cdot 5 = 20 \, \text{mm}^2 \)

• Part superior (geometria composta):
  1. Àrea del quadrat original:

     \( A_{\text{quad}} = m^2 = 16 \, \text{mm}^2 \)

  2. Àrea dels rectangles a eliminar (2x):

     \( A_{\text{rect}} = 2 \left( \frac{m}{2} \cdot m \right) = 2 \cdot (2 \cdot 4) = 16 \, \text{mm}^2 \)

  3. Àrea dels quarts de cercle (2x):

     \( A_{\text{cercle}} = 2 \left( \frac{\pi (m/2)^2}{4} \right) = 2 \cdot \frac{\pi \cdot 4}{4} = 2\pi \, \text{mm}^2 \approx 6.28 \, \text{mm}^2 \)

  4. Àrea superior neta:

     \( A_{\text{sup}} = A_{\text{quad}} - A_{\text{rect}} + A_{\text{cercle}} = 16 - 16 + 6.28 = 6.28 \, \text{mm}^2 \)

Àrea total de la secció:

\( A_{\text{total}} = A_{\text{inf}} + A_{\text{sup}} = 20 + 6.28 = 26.28 \, \text{mm}^2 \)

Resultat: \( \boxed{A_{\text{secció}} = 26.28 \, \text{mm}^2} \)

c) Volum total

1. Amplada de la dent (circumferència primitiva per dent):

   \( \text{Amplada} = \frac{\pi d_p}{z} = \frac{\pi \cdot 160}{40} = 4\pi \, \text{mm} \approx 12.57 \, \text{mm} \)

2. Volum per dent:

   \( V_{\text{dent}} = A_{\text{total}} \cdot \text{Amplada} = 26.28 \cdot 12.57 \approx 330.34 \, \text{mm}^3 \)

3. Volum de l'engranatge:

   \( V_{\text{total}} = V_{\text{dent}} \cdot z = 330.34 \cdot 40 = 13\,213.6 \, \text{mm}^3 \)

Resultat: \( \boxed{V_{\text{total}} = 13\,213.6 \, \text{mm}^3} \)

Verificació ISO:

• Alçada total de la dent: \( 1.25m + m = 2.25m = 9 \, \text{mm} \), coherent amb ISO 53
• Radi de curvatura: \( m/2 = 2 \, \text{mm} \), com especifica ISO 701

Càlcul de PLA per imprimir engranatge en 3D

Enunciat:

Es vol imprimir un engranatge en 3D amb un volum total de:

\[ V_{\text{total}} = 13213.6 \, \text{mm}^3 \]

El filament utilitzat és de PLA amb les següents característiques:

• Diàmetre del filament: \( d = 1.75 \, \text{mm} \)
• Densitat del PLA: \( \rho = 1.25 \, \frac{\text{g}}{\text{cm}^3} = 1.25 \times 10^{-3} \, \frac{\text{g}}{\text{mm}^3} \)
• Preu del PLA: \( P = 25 \, \frac{\text{€}}{\text{kg}} = 0.025 \, \frac{\text{€}}{\text{g}} \)

Calculeu:

1. Massa total de PLA necessària.
2. Cost total del PLA.
3. Longitud total del filament necessari.

Resolució pas a pas:

1. Massa total de PLA necessària

La massa es calcula com:

\[ m = \rho \cdot V_{\text{total}} \]

Substituint els valors donats:

\[ m = 1.25 \times 10^{-3} \, \frac{\text{g}}{\text{mm}^3} \cdot 13213.6 \, \text{mm}^3 = 16.517 \, \text{g} \]

2. Cost total del PLA

El cost es calcula com:

\[ \text{Preu} = m \cdot P \]

Substituint els valors donats:

\[ \text{Preu} = 16.517 \, \text{g} \cdot 0.025 \, \frac{\text{€}}{\text{g}} = 0.4129 \, \text{€} \]

3. Longitud total del filament necessari

El volum del filament es pot expressar com:

\[ V_{\text{filament}} = \pi \cdot r^2 \cdot L \]

On \( r = \frac{d}{2} = 0.875 \, \text{mm} \). Despejant \( L \):

\[ L = \frac{V_{\text{total}}}{\pi \cdot r^2} \]

Substituint els valors donats:

\[ L = \frac{13213.6}{\pi \cdot (0.875)^2} = \frac{13213.6}{\pi \cdot 0.765625} = \frac{13213.6}{2.40528} = 5493.52 \, \text{mm} \]

Convertint a metres:

\[ L = 5493.52 \, \text{mm} = 5.49352 \, \text{m} \]

Resultats finals:

• Massa de PLA necessària: \( m = 16.517 \, \text{g} \)

• Cost total del PLA:

  \[ \text{Preu} = m \cdot P = 16.517 \cdot 0.025 = 0.4129 \, \text{€} \]

• Longitud total del filament necessari: \( L = 5.49352\,\text{m}\)

Càlcul de l'Energia Elèctrica Consumida per Fondre 5.5 m de Filament de PLA i ABS

Enunciat

Suposem que tenim dos filaments, un de PLA i un d'ABS, amb les següents característiques:

• Longitud: \( L = 5.5 \, \text{m} \).
• Diàmetre: \( d = 1.75 \, \text{mm} = 0.00175 \, \text{m} \).

Dades per al PLA:

• Densitat: \( \rho_{PLA} = 1250 \, \text{kg/m}^3 \).
• Calor específic: \( c_{PLA} = 1800 \, \text{J/(kg·K)} \).
• Temperatura inicial: \( T_i = 25^\circ\text{C} \).
• Temperatura de fusió: \( T_{f,PLA} = 180^\circ\text{C} \).
• Calor latent de fusió: \( L_{PLA} = 50\,000 \, \text{J/kg} \).

Dades per a l'ABS:

• Densitat: \( \rho_{ABS} = 1040 \, \text{kg/m}^3 \).
• Calor específic: \( c_{ABS} = 1300 \, \text{J/(kg·K)} \).
• Temperatura inicial: \( T_i = 25^\circ\text{C} \).
• Temperatura de fusió: \( T_{f,ABS} = 230^\circ\text{C} \).
• Calor latent de fusió: \( L_{ABS} = 70\,000 \, \text{J/kg} \).

A més, s'estima que el preu de l'energia elèctrica per al 2025 és de \( 0.20 \, \text{EUR/kWh} \) (tenint en compte que \( 1 \, \text{kWh} = 3.6 \times 10^6 \, \text{J} \)).

Es demana calcular, pas a pas:

1. Volum del filament: Utilitzant la fórmula del volum d'un cilindre.
2. Massa del filament: A partir de la densitat.
3. Energía per escalfar (calor sensible): Utilitzant \[ Q_{\text{sensible}} = m \cdot c \cdot \Delta T, \quad \Delta T = T_f - T_i. \]
4. Energía per fondre (calor latent): Utilitzant \[ Q_{\text{latent}} = m \cdot L. \]
5. Energía total: La suma de les dues: \[ Q_{\text{total}} = Q_{\text{sensible}} + Q_{\text{latent}}. \]
6. Conversió a kWh i càlcul del cost econòmic.

Solució

1. Volum del filament

El volum \( V \) d'un cilindre és: \[ V = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 L. \] Primer, calculem el radi: \[ r = \frac{d}{2} = \frac{0.00175}{2} = 0.000875 \, \text{m}. \] Per tant: \[ V = \pi \times (0.000875)^2 \times 5.5 \approx \pi \times 7.6563 \times 10^{-7} \times 5.5. \] \[ V \approx 1.32 \times 10^{-5} \, \text{m}^3. \]

2. Massa del filament

La massa \( m \) es calcula per: \[ m = \rho \cdot V. \] Per al PLA: \[ m_{PLA} = 1250 \, \text{kg/m}^3 \times 1.32 \times 10^{-5} \, \text{m}^3 \approx 0.0165 \, \text{kg}. \] Per a l'ABS: \[ m_{ABS} = 1040 \, \text{kg/m}^3 \times 1.32 \times 10^{-5} \, \text{m}^3 \approx 0.0137 \, \text{kg}. \]

3. Energia per escalfar (calor sensible)

La variació de temperatura és:
Per al PLA: \[ \Delta T_{PLA} = 180^\circ\text{C} - 25^\circ\text{C} = 155 \, \text{K}. \]
Per a l'ABS: \[ \Delta T_{ABS} = 230^\circ\text{C} - 25^\circ\text{C} = 205 \, \text{K}. \] L'energia sensible es calcula amb: \[ Q_{\text{sensible}} = m \cdot c \cdot \Delta T. \]
PLA: \[ Q_{\text{sensible, PLA}} = 0.0165 \, \text{kg} \times 1800 \, \frac{\text{J}}{\text{kg·K}} \times 155 \, \text{K} \approx 4604 \, \text{J}. \]
ABS: \[ Q_{\text{sensible, ABS}} = 0.0137 \, \text{kg} \times 1300 \, \frac{\text{J}}{\text{kg·K}} \times 205 \, \text{K} \approx 3654 \, \text{J}. \]

4. Energia per fondre (calor latent)

La calor latent es calcula per: \[ Q_{\text{latent}} = m \cdot L. \]
PLA: \[ Q_{\text{latent, PLA}} = 0.0165 \, \text{kg} \times 50\,000 \, \frac{\text{J}}{\text{kg}} \approx 825 \, \text{J}. \]
ABS: \[ Q_{\text{latent, ABS}} = 0.0137 \, \text{kg} \times 70\,000 \, \frac{\text{J}}{\text{kg}} \approx 959 \, \text{J}. \]

5. Energia total

La energia total requerida és la suma de l'energia sensible i l'energia latent:
PLA: \[ Q_{\text{total, PLA}} = 4604 \, \text{J} + 825 \, \text{J} = 5429 \, \text{J}. \]
ABS: \[ Q_{\text{total, ABS}} = 3654 \, \text{J} + 959 \, \text{J} = 4613 \, \text{J}. \]

6. Conversió a kWh i càlcul del cost econòmic

Sabent que: \[ 1 \, \text{kWh} = 3.6 \times 10^6 \, \text{J}, \] convertim l'energia total a kWh:
PLA: \[ Q_{\text{kWh, PLA}} = \frac{5429 \, \text{J}}{3.6 \times 10^6 \, \text{J/kWh}} \approx 0.001507 \, \text{kWh}. \]
ABS: \[ Q_{\text{kWh, ABS}} = \frac{4613 \, \text{J}}{3.6 \times 10^6 \, \text{J/kWh}} \approx 0.001281 \, \text{kWh}. \]

Si el cost de l'energia elèctrica és de \( 0.20 \, \text{EUR/kWh} \), el cost serà:
PLA: \[ \text{Cost}_{PLA} = 0.001507 \, \text{kWh} \times 0.20 \, \frac{\text{EUR}}{\text{kWh}} \approx 0.000301 \, \text{EUR}. \]
ABS: \[ \text{Cost}_{ABS} = 0.001281 \, \text{kWh} \times 0.20 \, \frac{\text{EUR}}{\text{kWh}} \approx 0.000256 \, \text{EUR}. \]

Resum dels Resultats

Material	Massa (kg)	Energia sensible (J)	Energia latent (J)	Energia total (J)	Energia total (kWh)	Cost (EUR)
PLA	\(0.0165\)	\(4604\)	\(825\)	\(5429\)	\(0.001507\)	\(0.000301\)
ABS	\(0.0137\)	\(3654\)	\(959\)	\(4613\)	\(0.001281\)	\(0.000256\)