Es vol fabricar un engranatge cilíndric recte mitjançant impressió 3D en PLA de 1.75 mm de diàmetre.
L’objectiu és determinar les dimensions bàsiques de l’engranatge i calcular el material necessari per fabricar-lo.
1) Determina els diàmetres de l’engranatge:
2) Calcula el pas de l’engranatge:
\[ p = \pi \cdot m \]
3) Determina les alçades de la dent:
4) Calcula la secció transversal de l’engranatge (diferència entre dos cercles):
\[ A = \pi \left(\frac{d_e}{2}\right)^2 - \pi \left(\frac{d_i}{2}\right)^2 \]
5) Calcula el volum total de l’engranatge:
\[ V = A \cdot h \]
6) Determina la longitud de filament necessària per imprimir l’engranatge:
El volum del filament és el volum d'un cilindre de diàmetre 1.75 mm i longitud \( L \):
\[ V = \pi \left(\frac{1.75}{2}\right)^2 L \]
Despeja \( L \) i calcula la longitud de filament necessària.
7) Calcula la massa de l’engranatge:
\[ m = V \cdot \rho \]
8) Determina el cost total del material utilitzat:
\[ \text{Cost} = \frac{m}{1000} \times 25 \]
Després de realitzar els càlculs, respon:
Diàmetre primitiu:
\[ d_p = m \cdot z = 2 \times 30 = 60 \text{ mm} \]Diàmetre exterior:
\[ d_e = d_p + 2m = 60 + 4 = 64 \text{ mm} \]Diàmetre interior (alejament):
\[ d_i = d_p - 2.5m = 60 - 5 = 55 \text{ mm} \]Pas (distància entre dents):
\[ p = \pi \cdot m = 3.1416 \times 2 = 6.283 \text{ mm} \]Alçada del cap de la dent:
\[ h_c = m = 2 \text{ mm} \]Alçada del peu de la dent:
\[ h_p = 1.25m = 2.5 \text{ mm} \]Alçada total de la dent:
\[ h_t = h_c + h_p = 2 + 2.5 = 4.5 \text{ mm} \]Joc funcional:
\[ j = 0.2m = 0.4 \text{ mm} \]La secció transversal és la diferència entre l’àrea d’un cercle de diàmetre \( d_e \) i un de diàmetre \( d_i \):
\[ A = \pi \left(\frac{d_e}{2}\right)^2 - \pi \left(\frac{d_i}{2}\right)^2 \] \[ A = \pi \left(\frac{64}{2}\right)^2 - \pi \left(\frac{55}{2}\right)^2 \] \[ A \approx 3216.99 \text{ mm}^2 \]El volum de l’engranatge és:
\[ V = A \cdot h \] \[ V = 3216.99 \times 15 = 48,254.85 \text{ mm}^3 = 48.25 \text{ cm}^3 \]El volum del filament és el volum d'un cilindre de diàmetre 1.75 mm i longitud \( L \):
\[ V = \pi \left(\frac{1.75}{2}\right)^2 L \] \[ L = \frac{48.25}{\pi \left(\frac{1.75}{2}\right)^2} \] \[ L \approx 20.22 \text{ metres} \]La massa de l’engranatge és:
\[ m = V \times \rho \] \[ m = 48.25 \times 1.24 = 59.83 \text{ grams} \]El cost del material és:
\[ \text{Cost} = \frac{m}{1000} \times 25 \] \[ \text{Cost} \approx 1.50 \text{ €} \]Per imprimir aquest engranatge es necessiten **20.22 metres** de filament, i el cost total del material és d’aproximadament **1.50 €**.
Suposem que tenim dos filaments, un de PLA i un d'ABS, amb les següents característiques:
Dades per al PLA:
Dades per a l'ABS:
A més, s'estima que el preu de l'energia elèctrica per al 2025 és de \( 0.20 \, \text{EUR/kWh} \) (tenint en compte que \( 1 \, \text{kWh} = 3.6 \times 10^6 \, \text{J} \)).
Es demana calcular, pas a pas:
El volum \( V \) d'un cilindre és: \[ V = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 L. \] Primer, calculem el radi: \[ r = \frac{d}{2} = \frac{0.00175}{2} = 0.000875 \, \text{m}. \] Per tant: \[ V = \pi \times (0.000875)^2 \times 5.5 \approx \pi \times 7.6563 \times 10^{-7} \times 5.5. \] \[ V \approx 1.32 \times 10^{-5} \, \text{m}^3. \]
La massa \( m \) es calcula per: \[ m = \rho \cdot V. \] Per al PLA: \[ m_{PLA} = 1250 \, \text{kg/m}^3 \times 1.32 \times 10^{-5} \, \text{m}^3 \approx 0.0165 \, \text{kg}. \] Per a l'ABS: \[ m_{ABS} = 1040 \, \text{kg/m}^3 \times 1.32 \times 10^{-5} \, \text{m}^3 \approx 0.0137 \, \text{kg}. \]
La variació de temperatura és:
Per al PLA:
\[
\Delta T_{PLA} = 180^\circ\text{C} - 25^\circ\text{C} = 155 \, \text{K}.
\]
Per a l'ABS:
\[
\Delta T_{ABS} = 230^\circ\text{C} - 25^\circ\text{C} = 205 \, \text{K}.
\]
L'energia sensible es calcula amb:
\[
Q_{\text{sensible}} = m \cdot c \cdot \Delta T.
\]
PLA:
\[
Q_{\text{sensible, PLA}} = 0.0165 \, \text{kg} \times 1800 \, \frac{\text{J}}{\text{kg·K}} \times 155 \, \text{K} \approx 4604 \, \text{J}.
\]
ABS:
\[
Q_{\text{sensible, ABS}} = 0.0137 \, \text{kg} \times 1300 \, \frac{\text{J}}{\text{kg·K}} \times 205 \, \text{K} \approx 3654 \, \text{J}.
\]
La calor latent es calcula per:
\[
Q_{\text{latent}} = m \cdot L.
\]
PLA:
\[
Q_{\text{latent, PLA}} = 0.0165 \, \text{kg} \times 50\,000 \, \frac{\text{J}}{\text{kg}} \approx 825 \, \text{J}.
\]
ABS:
\[
Q_{\text{latent, ABS}} = 0.0137 \, \text{kg} \times 70\,000 \, \frac{\text{J}}{\text{kg}} \approx 959 \, \text{J}.
\]
La energia total requerida és la suma de l'energia sensible i l'energia latent:
PLA:
\[
Q_{\text{total, PLA}} = 4604 \, \text{J} + 825 \, \text{J} = 5429 \, \text{J}.
\]
ABS:
\[
Q_{\text{total, ABS}} = 3654 \, \text{J} + 959 \, \text{J} = 4613 \, \text{J}.
\]
Sabent que:
\[
1 \, \text{kWh} = 3.6 \times 10^6 \, \text{J},
\]
convertim l'energia total a kWh:
PLA:
\[
Q_{\text{kWh, PLA}} = \frac{5429 \, \text{J}}{3.6 \times 10^6 \, \text{J/kWh}} \approx 0.001507 \, \text{kWh}.
\]
ABS:
\[
Q_{\text{kWh, ABS}} = \frac{4613 \, \text{J}}{3.6 \times 10^6 \, \text{J/kWh}} \approx 0.001281 \, \text{kWh}.
\]
Si el cost de l'energia elèctrica és de \( 0.20 \, \text{EUR/kWh} \), el cost serà:
PLA:
\[
\text{Cost}_{PLA} = 0.001507 \, \text{kWh} \times 0.20 \, \frac{\text{EUR}}{\text{kWh}} \approx 0.000301 \, \text{EUR}.
\]
ABS:
\[
\text{Cost}_{ABS} = 0.001281 \, \text{kWh} \times 0.20 \, \frac{\text{EUR}}{\text{kWh}} \approx 0.000256 \, \text{EUR}.
\]
| Material | Massa (kg) | Energia sensible (J) | Energia latent (J) | Energia total (J) | Energia total (kWh) | Cost (EUR) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| PLA | \(0.0165\) | \(4604\) | \(825\) | \(5429\) | \(0.001507\) | \(0.000301\) |
| ABS | \(0.0137\) | \(3654\) | \(959\) | \(4613\) | \(0.001281\) | \(0.000256\) |