Càlcul de l'Energia Elèctrica Consumida per Fondre 5.5 m de Filament de PLA i ABS

Enunciat

Suposem que tenim dos filaments, un de PLA i un d'ABS, amb les següents característiques:

• Longitud: \( L = 5.5 \, \text{m} \).
• Diàmetre: \( d = 1.75 \, \text{mm} = 0.00175 \, \text{m} \).

Dades per al PLA:

• Densitat: \( \rho_{PLA} = 1250 \, \text{kg/m}^3 \).
• Calor específic: \( c_{PLA} = 1800 \, \text{J/(kg·K)} \).
• Temperatura inicial: \( T_i = 25^\circ\text{C} \).
• Temperatura de fusió: \( T_{f,PLA} = 180^\circ\text{C} \).
• Calor latent de fusió: \( L_{PLA} = 50\,000 \, \text{J/kg} \).

Dades per a l'ABS:

• Densitat: \( \rho_{ABS} = 1040 \, \text{kg/m}^3 \).
• Calor específic: \( c_{ABS} = 1300 \, \text{J/(kg·K)} \).
• Temperatura inicial: \( T_i = 25^\circ\text{C} \).
• Temperatura de fusió: \( T_{f,ABS} = 230^\circ\text{C} \).
• Calor latent de fusió: \( L_{ABS} = 70\,000 \, \text{J/kg} \).

A més, s'estima que el preu de l'energia elèctrica per al 2025 és de \( 0.20 \, \text{EUR/kWh} \) (tenint en compte que \( 1 \, \text{kWh} = 3.6 \times 10^6 \, \text{J} \)).

Es demana calcular, pas a pas:

1. Volum del filament: Utilitzant la fórmula del volum d'un cilindre.
2. Massa del filament: A partir de la densitat.
3. Energía per escalfar (calor sensible): Utilitzant \[ Q_{\text{sensible}} = m \cdot c \cdot \Delta T, \quad \Delta T = T_f - T_i. \]
4. Energía per fondre (calor latent): Utilitzant \[ Q_{\text{latent}} = m \cdot L. \]
5. Energía total: La suma de les dues: \[ Q_{\text{total}} = Q_{\text{sensible}} + Q_{\text{latent}}. \]
6. Conversió a kWh i càlcul del cost econòmic.

Solució

1. Volum del filament

El volum \( V \) d'un cilindre és: \[ V = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 L. \] Primer, calculem el radi: \[ r = \frac{d}{2} = \frac{0.00175}{2} = 0.000875 \, \text{m}. \] Per tant: \[ V = \pi \times (0.000875)^2 \times 5.5 \approx \pi \times 7.6563 \times 10^{-7} \times 5.5. \] \[ V \approx 1.32 \times 10^{-5} \, \text{m}^3. \]

2. Massa del filament

La massa \( m \) es calcula per: \[ m = \rho \cdot V. \] Per al PLA: \[ m_{PLA} = 1250 \, \text{kg/m}^3 \times 1.32 \times 10^{-5} \, \text{m}^3 \approx 0.0165 \, \text{kg}. \] Per a l'ABS: \[ m_{ABS} = 1040 \, \text{kg/m}^3 \times 1.32 \times 10^{-5} \, \text{m}^3 \approx 0.0137 \, \text{kg}. \]

3. Energia per escalfar (calor sensible)

La variació de temperatura és:
Per al PLA: \[ \Delta T_{PLA} = 180^\circ\text{C} - 25^\circ\text{C} = 155 \, \text{K}. \]
Per a l'ABS: \[ \Delta T_{ABS} = 230^\circ\text{C} - 25^\circ\text{C} = 205 \, \text{K}. \] L'energia sensible es calcula amb: \[ Q_{\text{sensible}} = m \cdot c \cdot \Delta T. \]
PLA: \[ Q_{\text{sensible, PLA}} = 0.0165 \, \text{kg} \times 1800 \, \frac{\text{J}}{\text{kg·K}} \times 155 \, \text{K} \approx 4604 \, \text{J}. \]
ABS: \[ Q_{\text{sensible, ABS}} = 0.0137 \, \text{kg} \times 1300 \, \frac{\text{J}}{\text{kg·K}} \times 205 \, \text{K} \approx 3654 \, \text{J}. \]

4. Energia per fondre (calor latent)

La calor latent es calcula per: \[ Q_{\text{latent}} = m \cdot L. \]
PLA: \[ Q_{\text{latent, PLA}} = 0.0165 \, \text{kg} \times 50\,000 \, \frac{\text{J}}{\text{kg}} \approx 825 \, \text{J}. \]
ABS: \[ Q_{\text{latent, ABS}} = 0.0137 \, \text{kg} \times 70\,000 \, \frac{\text{J}}{\text{kg}} \approx 959 \, \text{J}. \]

5. Energia total

La energia total requerida és la suma de l'energia sensible i l'energia latent:
PLA: \[ Q_{\text{total, PLA}} = 4604 \, \text{J} + 825 \, \text{J} = 5429 \, \text{J}. \]
ABS: \[ Q_{\text{total, ABS}} = 3654 \, \text{J} + 959 \, \text{J} = 4613 \, \text{J}. \]

6. Conversió a kWh i càlcul del cost econòmic

Sabent que: \[ 1 \, \text{kWh} = 3.6 \times 10^6 \, \text{J}, \] convertim l'energia total a kWh:
PLA: \[ Q_{\text{kWh, PLA}} = \frac{5429 \, \text{J}}{3.6 \times 10^6 \, \text{J/kWh}} \approx 0.001507 \, \text{kWh}. \]
ABS: \[ Q_{\text{kWh, ABS}} = \frac{4613 \, \text{J}}{3.6 \times 10^6 \, \text{J/kWh}} \approx 0.001281 \, \text{kWh}. \]

Si el cost de l'energia elèctrica és de \( 0.20 \, \text{EUR/kWh} \), el cost serà:
PLA: \[ \text{Cost}_{PLA} = 0.001507 \, \text{kWh} \times 0.20 \, \frac{\text{EUR}}{\text{kWh}} \approx 0.000301 \, \text{EUR}. \]
ABS: \[ \text{Cost}_{ABS} = 0.001281 \, \text{kWh} \times 0.20 \, \frac{\text{EUR}}{\text{kWh}} \approx 0.000256 \, \text{EUR}. \]

7. Energia addicional consumida per la impressora 3D

Per calcular l'energia total consumida per la impressora durant el procés:

• Potència del hotend: 40W
• Potència de la resta: 260W
• Potència total: 300W
• Velocitat d'impressió: 70 mm/s

a) Temps d'impressió

\[ t = \frac{\text{Longitud}}{\text{Velocitat}} = \frac{5.5 \, \text{m}}{70 \, \text{mm/s}} = \frac{5500 \, \text{mm}}{70 \, \text{mm/s}} \approx 78.57 \, \text{segons} \, (0.0218 \, \text{hores}) \]

b) Energia elèctrica consumida

\[ E_{\text{consumida}} = \text{Potència} \times \text{Temps} = 300 \, \text{W} \times 78.57 \, \text{s} = 23\,571 \, \text{J} \, (6.55 \, \text{Wh}) \]
Convertim a kWh: \[ E_{\text{kWh}} = \frac{23\,571}{3.6 \times 10^6} \approx 0.00655 \, \text{kWh} \]
Cost associat: \[ \text{Cost} = 0.00655 \, \text{kWh} \times 0.20 \, \text{EUR/kWh} \approx 0.00131 \, \text{EUR} \]

c) Comparativa amb l'energia tèrmica

PLA:
Energia tèrmica: 0.0015 kWh vs Consum elèctric: 0.00655 kWh
La impressora consumeix 4.37 vegades més energia que la necessària per fondre el filament.

ABS:
Energia tèrmica: 0.00128 kWh vs Consum elèctric: 0.00655 kWh
La impressora consumeix 5.12 vegades més energia que la necessària per fondre el filament.

Resum Actualitzat

Resum dels Resultats