Problema 1 – Determinació del centre de masses d’un cotxe
Un cotxe es recolza sobre dues rodes: una davantera i una posterior.
La distància entre les dues rodes és \(L\).
Es coneix la reacció vertical a cada roda.
Determineu la posició del centre de masses \(G\) del vehicle.
Resolució pas a pas
Pas 1: Identificació de forces
Sobre el cotxe actuen únicament forces verticals:
- Reacció a la roda davantera: \(R_D\)
- Reacció a la roda posterior: \(R_T\)
- Pes total del cotxe: \(W\), aplicat al centre de masses \(G\)
Pas 2: Condició d’equilibri vertical
Com que el cotxe està en repòs, la suma de forces verticals és nul·la:
\[
\sum F_y = 0 \Rightarrow R_D + R_T - W = 0
\]
D’aquí obtenim:
\[
W = R_D + R_T
\]
Pas 3: Elecció del punt per calcular moments
Triem com a punt de moments la roda posterior, perquè elimina la força \(R_T\)
de l’equació (el seu braç és zero).
Pas 4: Equació d’equilibri de moments
\[
\sum M_{roda\ posterior} = 0
\Rightarrow R_D \cdot L - W \cdot x = 0
\]
on \(x\) és la distància del centre de masses a la roda posterior.
Pas 5: Posició del centre de masses
\[
x = \frac{R_D \cdot L}{W}
\]
Aquesta expressió indica que el centre de masses es troba més a prop
de l’eix que suporta més pes.
Problema 2 – Carretó amb sacs
Un carretó pesa 60 N i es recolza sobre una roda frontal.
Es col·loca un sac de 250 N sobre el carretó.
Les dues mans de l’operari sostenen el carretó a la mateixa distància de la roda.
a) Determineu la força que fa cada mà per mantenir l’equilibri.
b) Determineu la posició d’un segon sac perquè la força a cada mà sigui de 75 N.
Resolució
Pas 1: Forces del sistema
- Pes del carretó: \(W_c = 60\,N\)
- Pes del sac: \(W_s = 250\,N\)
- Reacció a la roda: \(R\)
- Forces a les mans: \(F\) i \(F\)
Pas 2: Equilibri de forces verticals
\[
\sum F_y = 0 \Rightarrow 2F + R - (60 + 250) = 0
\]
\[
2F + R = 310
\]
Pas 3: Equilibri de moments respecte la roda
Prenem moments respecte la roda perquè la reacció \(R\) no hi intervé:
\[
2F \cdot d = 60 \cdot d_c + 250 \cdot d_s
\]
on:
- \(d\) és la distància de les mans a la roda
- \(d_c\) és la distància del centre del carretó a la roda
- \(d_s\) és la distància del sac a la roda
Pas 4 (apartat b): Força imposada
\[
F = 75\,N \Rightarrow 2F = 150\,N
\]
Substituint aquest valor a l’equació de moments,
es pot determinar la posició del segon sac.
Problema 3 – Caixa sostinguda per tres cables
Una caixa de massa 80 kg està sostinguda per tres cables units als punts A, B i C.
La caixa està en equilibri.
Determineu:
- Les forces als cables
- Els angles necessaris per a l’equilibri
- El moment del pes respecte al punt E
Resolució
Pas 1: Conversió de massa a pes
\[
W = m g = 80 \cdot 9.81 = 785\,N
\]
Pas 2: Forces que actuen sobre la caixa
- Pes \(W\) cap avall
- Tensions als cables: \(T_A, T_B, T_C\)
Pas 3: Equilibri horitzontal
\[
\sum F_x = 0
\]
Aquesta equació relaciona les components horitzontals de les tensions.
Pas 4: Equilibri vertical
\[
\sum F_y = 0 \Rightarrow T_{Ay} + T_{By} + T_{Cy} = W
\]
Pas 5: Moment respecte al punt E
\[
M_E = W \cdot d
\]
on \(d\) és la distància perpendicular del pes al punt E.
Problema 4 – Grua amb càrrega suspesa
Una grua aixeca una càrrega de 25 kN.
Es coneixen el pes propi de la grua, les dimensions del sistema
i la força exercida pel cable AEF.
Determineu:
- Les reaccions a les rodes davanteres i posteriors
- La tensió al cable CD
- La força a l’articulació B
Resolució
Pas 1: Forces verticals
- Pes de la càrrega: \(W = 25\,kN\)
- Pes propi de la grua: \(W_g\)
- Reaccions a les rodes: \(R_D\) i \(R_T\)
Pas 2: Equilibri vertical
\[
R_D + R_T = W + W_g
\]
Pas 3: Equilibri de moments
Prenent moments respecte a l’eix posterior:
\[
R_D \cdot L = W \cdot d_W + W_g \cdot d_g
\]
Pas 4: Tensió al cable CD
\[
T_{CD} = \frac{25}{\sin\theta}
\]
on \(\theta\) és l’angle del cable amb l’horitzontal.
Problema 5 – Pala amb cilindres hidràulics
Una pala de massa 1,25 Mg es manté en equilibri gràcies a dos cilindres
hidràulics EF i AD.
El centre de masses de la pala es troba al punt G.
Determineu la força exercida per cada cilindre.
Resolució
Pas 1: Pes de la pala
\[
W = 1250 \cdot 9.81 = 12.26\,kN
\]
Pas 2: Forces del sistema
- Pes \(W\) aplicat a G
- Força del cilindre EF: \(F_{EF}\)
- Força del cilindre AD: \(F_{AD}\)
Pas 3: Equilibri de moments
Prenent moments respecte a l’articulació:
\[
F_{EF} \cdot d_{EF} + F_{AD} \cdot d_{AD} = W \cdot d_G
\]
Pas 4: Resolució del sistema
Amb aquesta equació i les equacions d’equilibri de forces
es determinen les forces als dos cilindres.
Problema 6 – Minicarregadora amb càrrega frontal
Una minicarregadora té una massa de 1,18 Mg i es troba en la posició mostrada al dibuix.
El centre de masses de la màquina es troba al punt G.
A la galleda hi ha una pedra de massa 320 kg amb centre de masses al punt a.
Determineu:
- a) La reacció del parell de rodes B amb el terra
- b) La reacció del parell de rodes A amb el terra
- c) La força al cilindre hidràulic CD
- d) La força exercida sobre la barra ED al punt E
Resolució pas a pas
Pas 1: Conversió de masses a pesos
\[
W_m = 1.18 \cdot 10^3 \cdot 9.81 = 11.58\ \text{kN}
\]
\[
W_p = 320 \cdot 9.81 = 3.14\ \text{kN}
\]
Pas 2: Forces que actuen sobre el conjunt
- Pes de la màquina \(W_m\) aplicat a G
- Pes de la pedra \(W_p\) aplicat a a
- Reaccions al terra: \(R_A\) i \(R_B\)
Pas 3: Equilibri de forces verticals
\[
\sum F_y = 0 \Rightarrow R_A + R_B = W_m + W_p
\]
Pas 4: Equilibri de moments respecte A
Triem el punt A per eliminar \(R_A\):
\[
\sum M_A = 0 \Rightarrow
R_B \cdot L = W_m \cdot d_m + W_p \cdot d_p
\]
Pas 5: Reaccions al terra
\[
R_B = \frac{W_m d_m + W_p d_p}{L}
\qquad
R_A = W_m + W_p - R_B
\]
Pas 6: Força al cilindre CD
Aïllem el braç frontal i prenem moments respecte l’articulació:
\[
F_{CD} \cdot d_{CD} = W_p \cdot d_p
\]
Pas 7: Força a la barra ED
Mitjançant l’equilibri del nus E:
\[
\sum F_x = 0
\qquad
\sum F_y = 0
\]
La força resultant sobre ED s’obté combinant components.
Problema 7 – Estructura que suporta un motor
Una estructura suporta un motor de massa 125 kg mitjançant una barra BD
i un cilindre hidràulic FB.
Determineu:
- La força al cilindre FB
- Les reaccions al punt E en direccions x i y
- La força axial a la barra BD
Resolució
Pas 1: Pes del motor
\[
W = 125 \cdot 9.81 = 1226\ \text{N}
\]
Pas 2: Forces que actuen
- Pes \(W\)
- Força del cilindre \(F_{FB}\)
- Força a la barra \(F_{BD}\)
- Reaccions \(E_x\) i \(E_y\)
Pas 3: Equilibri de moments respecte E
\[
F_{FB} \cdot d_{FB} = W \cdot d_W
\]
Pas 4: Equilibri de forces
\[
\sum F_x = 0
\qquad
\sum F_y = 0
\]
Problema 8 – Grua mòbil amb estabilitzadors
Una grua mòbil es recolza simètricament sobre dos estabilitzadors en A
i dos estabilitzadors en B.
Dades:
- Massa grua + camió: 18 Mg (centre a \(G_1\))
- Massa ploma: 1,8 Mg (centre a \(G_2\))
- Càrrega suspesa: 1,2 Mg
Determineu:
- a) Reacció a cada estabilitzador A en funció de l’angle \(\theta\)
- b) Reacció a cada estabilitzador B en funció de \(\theta\)
- c) Angle crític a partir del qual la grua bolca
Resolució
Pas 1: Pesos del sistema
\[
W_1 = 18\,000 \cdot 9.81
\qquad
W_2 = 1\,800 \cdot 9.81
\qquad
W_3 = 1\,200 \cdot 9.81
\]
Pas 2: Equilibri vertical global
\[
2R_A + 2R_B = W_1 + W_2 + W_3
\]
Pas 3: Equilibri de moments
Prenent moments respecte la línia de suport B:
\[
2R_A \cdot L =
W_1 d_1 + W_2 d_2(\theta) + W_3 d_3(\theta)
\]
Pas 4: Angle crític
La grua comença a bolcar quan:
\[
R_B = 0
\]
Problema 9 – Trampolí amb molla
Un trampolí té una molla de rigidesa \(k = 15\ \text{kN/m}\).
Un nen de massa 40 kg es col·loca sobre el trampolí.
Determineu l’angle que ha de formar el trampolí perquè el sistema
estigui en equilibri estàtic.
Resolució
Pas 1: Pes del nen
\[
W = 40 \cdot 9.81 = 392\ \text{N}
\]
Pas 2: Força de la molla
\[
F = k \cdot x
\]
Pas 3: Equilibri vertical
\[
F \sin\theta = W
\Rightarrow
k x \sin\theta = W
\]
Pas 4: Angle d’equilibri
\[
\theta = \arcsin\left(\frac{W}{k x}\right)
\]
Problema 10 – Carretó de mà pujant un graó
Un carretó de mà puja un graó amb un centre de gravetat G.
Determineu:
- La reacció normal al punt de contacte
- La força mínima \(F_B\) aplicada al punt B per iniciar l’aixecament
Resolució
Pas 1: Condició límit
L’aixecament comença quan el gir es produeix al voltant de l’aresta del graó.
Pas 2: Equilibri de moments
\[
F_B \cdot d_B = W \cdot d_G
\]
Pas 3: Força mínima
\[
F_B = \frac{W d_G}{d_B}
\]
Problema 11 – Balança amb fils i trencament
Una balança sosté dues masses \(m\) i \(M\) mitjançant fils.
Un dels fils té una longitud de 5 cm i es trenca quan la tensió arriba a 2,80 N.
Determineu:
- Les tensions \(T_1\) i \(T_2\)
- Els valors de les masses \(m\) i \(M\) que provoquen el trencament
Resolució pas a pas
Pas 1: Forces que actuen
- Pes de la massa \(m\): \(m g\)
- Pes de la massa \(M\): \(M g\)
- Tensions als fils: \(T_1\) i \(T_2\)
Pas 2: Condició de trencament
El fil es trenca quan:
\[
T_1 = 2.80\ \text{N}
\]
Pas 3: Equilibri de cada massa
\[
T_1 = m g
\qquad
T_2 = M g
\]
Pas 4: Càlcul de les masses
\[
m = \frac{T_1}{g} = \frac{2.80}{9.81} = 0.285\ \text{kg}
\]
La massa \(M\) es calcula de la mateixa manera a partir de \(T_2\).
Problema 12 – Grua amb cilindre hidràulic
Una grua té una massa total (incloent l’operari) de 180 kg.
El centre de gravetat del conjunt es troba al punt G.
Determineu la força que ha d’exercir el cilindre hidràulic AB
per mantenir la grua en equilibri.
Resolució
Pas 1: Pes total
\[
W = 180 \cdot 9.81 = 1766\ \text{N}
\]
Pas 2: Forces que actuen
- Pes \(W\) aplicat a G
- Força del cilindre \(F_{AB}\)
- Reaccions a l’articulació
Pas 3: Equilibri de moments
Prenent moments respecte l’articulació:
\[
F_{AB} \cdot d_{AB} = W \cdot d_G
\]
Pas 4: Força al cilindre
\[
F_{AB} = \frac{W \cdot d_G}{d_{AB}}
\]
Problema 13 – Tonell amb pistó hidràulic inclinat
Un tonell de massa 120 kg és sostingut per un pistó hidràulic BC
inclinat 40°. El diàmetre del pistó és de 50 mm.
Determineu la força que exerceix el pistó per mantenir el sistema
en equilibri.
Resolució
Pas 1: Pes del tonell
\[
W = 120 \cdot 9.81 = 1177\ \text{N}
\]
Pas 2: Equilibri vertical
Només la component vertical del pistó compensa el pes:
\[
F_{BC} \sin(40^\circ) = W
\]
Pas 3: Força del pistó
\[
F_{BC} = \frac{1177}{\sin(40^\circ)} \approx 1830\ \text{N}
\]
Problema 14 – Minigrua amb reaccions i força resultant
Una minigrua es recolza sobre dues rodes amb reaccions \(N_A\) i \(N_B\).
La massa de la grua és \(M_1\) i la massa de la pala carregada és \(M_2\).
Determineu:
- Les reaccions \(E_x\) i \(E_y\) a l’articulació
- La força resultant \(F_R\)
Resolució
Pas 1: Pesos
\[
W_1 = M_1 g
\qquad
W_2 = M_2 g
\]
Pas 2: Equilibri vertical
\[
N_A + N_B = W_1 + W_2
\]
Pas 3: Equilibri de moments
\[
N_B \cdot L = W_1 \cdot d_1 + W_2 \cdot d_2
\]
Pas 4: Força resultant
\[
F_R = \sqrt{E_x^2 + E_y^2}
\]
Problema 15 – Màquina d’extracció de petroli
Una màquina d’extracció de petroli funciona mitjançant un motor que
aplica un moment a un sistema de cables.
- a) Si la força al cable fix és de 5 kN, determineu el moment del motor.
- b) Si el moment del motor és de 2500 Nm, determineu la força al cable CD
i la força aplicada F.
Resolució
Part a: Moment del motor
\[
M = F \cdot d = 5000 \cdot d
\]
Part b: Força aplicada
\[
F = \frac{M}{d}
\]
Equilibri del nus
\[
\sum F_x = 0
\qquad
\sum F_y = 0
\]
D’aquestes equacions s’obtenen les forces als cables.