Problemes d'Estàtica – Bloc 1 i Bloc 2
Problema 1 – Centre de masses d’un cotxe
Un cotxe es recolza sobre dues rodes, una davantera i una posterior.
Es coneix la distribució de pesos que suporta cada eix i la distància entre les rodes.
Es demana determinar la posició del centre de masses del vehicle.
Resolució
Pas 1: Forces que actuen
- Reacció a la roda davantera \(R_D\)
- Reacció a la roda posterior \(R_T\)
- Pes total del cotxe \(W\), aplicat al centre de masses \(G\)
Pas 2: Equilibri vertical
\[
\sum F_y = 0 \Rightarrow R_D + R_T - W = 0
\]
Pas 3: Equilibri de moments
Prenem moments respecte la roda posterior:
\[
R_D \cdot L - W \cdot x = 0
\]
on:
- \(L\) és la distància entre rodes
- \(x\) és la distància del centre de masses a la roda posterior
Pas 4: Posició del centre de masses
\[
x = \frac{R_D \cdot L}{W}
\]
Problema 2 – Carretó amb sacs
Un carretó pesa 60 N. Es col·loca un sac de 250 N sobre el carretó.
a) Determineu la força que fa cada mà per mantenir l’equilibri.
b) Si es col·loca un segon sac, determineu la seva posició perquè la força a cada mà sigui de 75 N.
Resolució
Pas 1: Forces del sistema
- Pes del carretó: \(W_c = 60\,N\)
- Pes del sac: \(W_s = 250\,N\)
- Reacció a la roda: \(R\)
- Forces a les mans: \(F\) i \(F\)
Pas 2: Equilibri vertical
\[
2F + R = 310
\]
Pas 3: Equilibri de moments
Prenent moments respecte la roda:
\[
2F \cdot d = 60 \cdot d_c + 250 \cdot d_s
\]
Part b: Condició imposada
\[
F = 75\,N \Rightarrow 2F = 150\,N
\]
Equilibri de moments amb segon sac
\[
150 \cdot d = 60 \cdot d_c + 250 \cdot d_s + W_2 \cdot x
\]
Problema 3 – Caixa sostinguda per cables
Una caixa de massa 80 kg està sostinguda mitjançant tres cables units als punts A, B i C.
Determineu les forces als cables, els angles necessaris per a l’equilibri i el moment del pes respecte al punt E.
Resolució
Pas 1: Conversió a pes
\[
W = 80 \cdot 9.81 = 785\,N
\]
Pas 2: Equilibri horitzontal
\[
\sum F_x = 0
\]
Pas 3: Equilibri vertical
\[
\sum F_y = 0
\]
Pas 4: Moment respecte E
\[
M_E = W \cdot d
\]
Problema 4 – Grua amb càrrega
Una grua aixeca una càrrega de 25 kN. Es coneixen les dimensions, el pes propi de la grua i la força del cable AEF.
Determineu les reaccions a les rodes davanteres i posteriors, la tensió al cable CD i la força al punt B.
Resolució
Equilibri vertical
\[
R_D + R_T = W + W_g
\]
Equilibri de moments
\[
R_D \cdot L = W \cdot d_W + W_g \cdot d_g
\]
Tensió al cable CD
\[
T_{CD} = \frac{25}{\sin\theta}
\]
Problema 5 – Pala amb cilindres hidràulics
Una pala de massa 1,25 Mg està en equilibri gràcies a dos cilindres hidràulics EF i AD.
El centre de masses es troba al punt G. Determineu la força a cada cilindre.
Resolució
Pes de la pala
\[
W = 1250 \cdot 9.81 = 12.26\,kN
\]
Equilibri de moments
\[
F_{EF} \cdot d_{EF} + F_{AD} \cdot d_{AD} = W \cdot d_G
\]
Problema 6 – Minicarregadora
Una minicarregadora de massa 1,18 Mg transporta una pedra de 320 kg.
Determineu:
a) la reacció a les rodes B
b) la reacció a les rodes A
c) la força al cilindre CD
d) la força aplicada a ED al punt E
Resolució
Pesos
\[
W_m = 1180 \cdot 9.81 = 11.58\,kN
\]
\[
W_p = 320 \cdot 9.81 = 3.14\,kN
\]
Equilibri vertical
\[
R_A + R_B = W_m + W_p
\]
Moments respecte A
\[
R_B \cdot L = W_m \cdot d_m + W_p \cdot d_p
\]
Problema 7 – Estructura amb motor
Una estructura suporta un motor de massa 125 kg mitjançant una barra BD i un cilindre FB.
Determineu:
- La força al cilindre FB
- Les forces de reacció al punt E en els eixos x i y
- La força suportada per la barra BD
Resolució
Pas 1: Conversió de massa a pes
\[
W = 125 \cdot 9.81 = 1226\,N
\]
Pas 2: Diagrama de forces
Forces aplicades:
- Pes del motor \(W\) aplicat al seu centre de masses
- Força del cilindre \(F_{FB}\)
- Força axial a la barra \(F_{BD}\)
- Reaccions \(E_x\) i \(E_y\) al suport E
Pas 3: Equilibri de moments
Prenent moments respecte al punt E:
\[
F_{FB} \cdot d_{FB} = W \cdot d_W
\]
Pas 4: Equilibri de forces
\[
\sum F_x = 0
\qquad
\sum F_y = 0
\]
D’aquestes equacions s’obtenen \(E_x\), \(E_y\) i \(F_{BD}\).
Problema 8 – Grua mòbil amb estabilitzadors
Una grua mòbil es recolza simètricament sobre dos estabilitzadors en A i dos en B.
Dades:
- Massa grua + camió: 18 Mg (centre de masses a \(G_1\))
- Massa ploma: 1,8 Mg (centre de masses a \(G_2\))
- Càrrega suspesa: 1,2 Mg
Es demana:
- A) Reacció a cada estabilitzador en A en funció de l’angle de la ploma
- B) Reacció a cada estabilitzador en B en funció de l’angle de la ploma
- C) Angle crític positiu a partir del qual comença la inclinació
Resolució
Pas 1: Pesos del sistema
\[
W_1 = 18\,000 \cdot 9.81 = 176.6\,kN
\]
\[
W_2 = 1\,800 \cdot 9.81 = 17.7\,kN
\]
\[
W_3 = 1\,200 \cdot 9.81 = 11.8\,kN
\]
Pas 2: Equilibri vertical
\[
2R_A + 2R_B = W_1 + W_2 + W_3
\]
Pas 3: Equilibri de moments
Prenent moments respecte la línia de suport B:
\[
2R_A \cdot L = W_1 \cdot d_1 + W_2 \cdot d_2(\theta) + W_3 \cdot d_3(\theta)
\]
Pas 4: Angle crític
L’inici de la inclinació es produeix quan:
\[
R_B = 0
\]
A partir d’aquesta condició es resol l’angle crític \(\theta_{max}\).
Problema 9 – Trampolí amb molla
Un trampolí té una molla amb una rigidesa de 15 kN/m.
Un nen de massa 40 kg es col·loca sobre el trampolí.
Determineu l’angle que ha de formar el trampolí perquè el sistema estigui en equilibri estàtic.
Resolució
Pas 1: Forces del sistema
- Pes del nen \(W\)
- Força elàstica de la molla \(F = k \cdot x\)
Pas 2: Pes del nen
\[
W = 40 \cdot 9.81 = 392\,N
\]
Pas 3: Equilibri de forces
Projectant forces segons la direcció vertical:
\[
k \cdot x \cdot \sin\theta = W
\]
Pas 4: Angle d’equilibri
\[
\theta = \arcsin\left(\frac{W}{k \cdot x}\right)
\]
Problema 10 – Carretó de mà pujant un graó
Un carretó de mà puja un graó. El sistema té un centre de gravetat G.
Determineu:
- Les forces de reacció normals \(N\) a les rodes
- La força mínima \(F_B\) aplicada al punt B per aixecar el pes
Resolució
Pas 1: Forces que actuen
- Pes del sistema \(W\) aplicat a G
- Reacció normal al punt de contacte amb el graó \(N\)
- Força aplicada per l’usuari al punt B: \(F_B\)
Pas 2: Condició límit d’aixecament
El carretó comença a aixecar-se quan desapareix la reacció amb el terra
i el gir es produeix al voltant de l’aresta del graó.
Pas 3: Equilibri de moments
Prenem moments respecte al punt de contacte amb el graó:
\[
\sum M = 0 \Rightarrow F_B \cdot d_B = W \cdot d_G
\]
Pas 4: Força mínima necessària
\[
F_B = \frac{W \cdot d_G}{d_B}
\]
Problema 11 – Balança amb fils
Una balança suporta una tensió \(T_1\) aplicada mitjançant un fil de 5 cm
que es trenca quan la tensió arriba a 2,80 N.
La balança sosté dues masses \(m\) i \(M\).
Determineu:
- Les tensions \(T_1\) i \(T_2\)
- Els valors de \(m\) i \(M\) que provoquen el trencament del fil
Resolució
Pas 1: Forces del sistema
- Pes de la massa \(m\): \(m g\)
- Pes de la massa \(M\): \(M g\)
- Tensions als fils: \(T_1\) i \(T_2\)
Pas 2: Condició de trencament
\[
T_1 = 2.80\ \text{N}
\]
Pas 3: Equilibri vertical
\[
T_1 = m g
\qquad
T_2 = M g
\]
Pas 4: Càlcul de les masses
\[
m = \frac{T_1}{g}
\qquad
M = \frac{T_2}{g}
\]
Problema 12 – Grua amb cilindre hidràulic
Una grua té una massa total (incloent l’operari) de 180 kg.
El centre de gravetat del conjunt es troba al punt G.
Determineu la força que ha d’exercir el cilindre hidràulic AB
per mantenir la grua en equilibri.
Resolució
Pas 1: Pes total del sistema
\[
W = 180 \cdot 9.81 = 1766\ \text{N}
\]
Pas 2: Forces que actuen
- Pes \(W\) aplicat a G
- Força del cilindre \(F_{AB}\)
- Reaccions a l’articulació principal
Pas 3: Equilibri de moments
Prenent moments respecte a l’articulació:
\[
F_{AB} \cdot d_{AB} = W \cdot d_G
\]
Pas 4: Força al cilindre
\[
F_{AB} = \frac{W \cdot d_G}{d_{AB}}
\]
Problema 13 – Tonell amb pistó hidràulic inclinat
Tenim un tonell de massa 120 kg sostingut per un pistó hidràulic BC
inclinat 40°. El pistó té un diàmetre de 50 mm.
Determineu la força que exerceix el pistó BC per mantenir el sistema
en equilibri.
Resolució
Pas 1: Pes del tonell
\[
W = 120 \cdot 9.81 = 1177\ \text{N}
\]
Pas 2: Forces que actuen
- Pes del tonell \(W\) (vertical cap avall)
- Força del pistó \(F_{BC}\) inclinada 40°
Pas 3: Equilibri vertical
Només la component vertical del pistó equilibra el pes:
\[
F_{BC} \cdot \sin(40^\circ) = W
\]
Pas 4: Força del pistó
\[
F_{BC} = \frac{W}{\sin(40^\circ)} = 1830\ \text{N}
\]
Problema 14 – Minigrua amb reaccions i força resultant
Una minigrua es recolza sobre dues rodes amb reaccions \(N_A\) i \(N_B\).
La massa de la grua és \(M_1\) i la massa de la pala carregada és \(M_2\).
Determineu:
- Les reaccions \(E_x\) i \(E_y\) a l’articulació
- La força resultant \(F_R\)
Resolució
Pas 1: Pesos del sistema
\[
W_1 = M_1 g
\qquad
W_2 = M_2 g
\]
Pas 2: Equilibri vertical
\[
N_A + N_B = W_1 + W_2
\]
Pas 3: Equilibri de moments
Prenent moments respecte a A:
\[
N_B \cdot L = W_1 \cdot d_1 + W_2 \cdot d_2
\]
Pas 4: Reaccions a l’articulació
Un cop conegudes les forces horitzontals i verticals:
\[
F_R = \sqrt{E_x^2 + E_y^2}
\]
Problema 15 – Màquina d’extracció de petroli
Una màquina d’extracció de petroli funciona mitjançant un motor que
aplica un moment determinat a un mecanisme de cables.
- a) Si la força al cable fix és de 5 kN, determineu el moment del motor.
- b) Si el moment del motor és de 2500 Nm, determineu la força al cable CD
i la força F aplicada.
Resolució
Part a: Moment del motor
El moment és:
\[
M = F \cdot d
\]
Si \(F = 5\,kN\):
\[
M = 5000 \cdot d
\]
Part b: Forces al sistema
Donat el moment del motor:
\[
F = \frac{M}{d}
\]
Força al cable CD
Mitjançant l’equilibri del nus:
\[
\sum F_x = 0
\qquad
\sum F_y = 0
\]