Exercici de Física: Exercici del “Cristo” a les anelles

Enunciat

Un atleta de 60 kg de massa i 1,70 m d’estatura realitza l’exercici de gimnàstica anomenat “el Cristo”, en el qual manté el cos immòbil amb els braços estesos horitzontalment, tal com es mostra a l’esquema.

Els cordons de les anelles formen un angle amb la vertical de:

\[ \theta = 10^\circ \]

Es demana:

1. Calcular la tensió \(T\) dels cordons que sostenen les anelles.
2. Considerant cada braç com una barra rígida horitzontal sotmesa a les forces indicades a l’esquema 2, calcular:
   • Les components \(R_X\) i \(R_Y\) de la reacció a l’articulació de l’espatlla.
   • El mòdul de la reacció \(R\).
   • L’angle \(\beta\) que forma la reacció amb l’horitzontal.

Dades addicionals:

• La massa de cada braç és el 3% de la massa total.
• La longitud de cada braç és el 35% de l’estatura.
• El pes del braç \(W\) actua al centre del braç.

Esquema 1: Cos suspès de les anelles

Solució

a) Tensió dels cordons

L’atleta està en equilibri. El seu pes és:

\[ P = mg = 60 \cdot 9{,}8 = 588 \text{ N} \]

La component vertical de la tensió de cada cordó és \(T \cos\theta\). Com que hi ha dos cordons:

\[ 2T\cos\theta = P \]

Despejant la tensió:

\[ T = \frac{P}{2\cos\theta} \] \[ T = \frac{588}{2\cos 10^\circ} \approx 298 \text{ N} \]

---

b) Forces sobre un braç

Massa d’un braç:

\[ m_b = 0{,}03 \cdot 60 = 1{,}8 \text{ kg} \]

Pes del braç:

\[ W = m_b g = 1{,}8 \cdot 9{,}8 = 17{,}6 \text{ N} \]

Longitud del braç:

\[ L = 0{,}35 \cdot 1{,}70 = 0{,}595 \text{ m} \]

Components de la força de la corda

\[ T_x = T \sin\theta \qquad T_y = T \cos\theta \] \[ T_x = 298 \sin 10^\circ \approx 51{,}8 \text{ N} \] \[ T_y = 298 \cos 10^\circ \approx 293{,}5 \text{ N} \]

Equilibri de forces

Horitzontal:

\[ \sum F_x = 0 \Rightarrow R_X = T_x = 51{,}8 \text{ N} \]

Vertical:

\[ \sum F_y = 0 \Rightarrow R_Y + T_y - W = 0 \] \[ R_Y = W - T_y = 17{,}6 - 293{,}5 = -275{,}9 \text{ N} \]

(El signe negatiu indica que la reacció és cap avall)

Mòdul de la reacció

\[ R = \sqrt{R_X^2 + R_Y^2} \] \[ R = \sqrt{(51{,}8)^2 + (275{,}9)^2} \approx 281 \text{ N} \]

Angle de la reacció

\[ \tan\beta = \frac{|R_Y|}{R_X} \] \[ \beta = \arctan\left(\frac{275{,}9}{51{,}8}\right) \approx 79^\circ \]

Esquema 2: Forces sobre el braç