Problema d'Estàtica: Crist amb Anelles

Considerem un crist format per dues bigues perpendiculares: una horitzontal i una vertical que es creuen al seu centre \( O \). El pes \( P \) actua verticalment cap avall en \( O \). El suport es realitza a través de dues anelles, situades als extrems de la biga horitzontal (punts \( A \) i \( B \)), que estan suspeses per cables que formen un angle \(\theta\) amb la vertical.

1. Representació del Problema

Diagrama esquemàtic:

• El pes \( P \) actua en el centre \( O \).
• Els punts \( A \) i \( B \) són els extrems de la biga horitzontal, on es col·loquen les anelles.
• Cada cable, amb tensió \( T \), forma un angle \(\theta\) amb la vertical.

2. Condicions d'Equilibri

Perquè l’estructura estigui en equilibri, han de complir-se les dues condicions fonamentals:

• Equilibri de forces: La suma vectorial de totes les forces ha de ser zero.
• Equilibri de moments: La suma de tots els moments (torques) respecte a qualsevol punt ha de ser zero.

3. Equacions d'Equilibri

Equilibri Vertical: La component vertical de la tensió en cada cable és \( T\cos\theta \). Amb dues anelles tenim:

\[ 2T\cos\theta = P \]

D'on es pot obtenir la tensió en cada cable:

\[ T = \frac{P}{2\cos\theta} \]

Equilibri Horitzontal: Les components horitzontals de les tensions són \( T\sin\theta \) per cada cable, amb direccions oposades, per tant es cancel·len:

\[ T\sin\theta - T\sin\theta = 0 \]

La condició d’equilibri horitzontal es compleix automàticament per simetria.

4. Equilibri de Moments

En triar el centre \( O \) com a punt de moments, observem que:

• El pes \( P \) actua en \( O \) i, per tant, no genera cap moment respecte a aquest punt.
• Les tensions \( T \) en els cables també actuen de manera simètrica, de forma que els seus moments respecte a \( O \) es cancel·len.

Així, si el sistema és simètric, l’equilibri de moments està garantit.

5. Consideració de Casos Especials

En el cas que el pes no actui exactament en el centre o hi hagi algun desplaçament, caldrà tenir en compte moments addicionals. Per exemple, si el pes \( P \) actua a una distància \( d \) del centre, el moment generat és:

\[ M = P \cdot d \]

Per compensar aquest moment, les tensions als cables podrien diferir. Sigui \( T_A \) la tensió en l’anella \( A \) i \( T_B \) en l’anella \( B \), si la distància del centre a cadascun d’ells és \( L \), l’equació de moments podria ser:

\[ T_A\cos\theta\cdot L - T_B\cos\theta\cdot L = P\cdot d \]

Resolent aquesta equació es pot trobar la distribució de tensions necessària per mantenir l’equilibri.

6. Resum dels Passos

1. Dibuixa el diagrama: Identifica el punt on actua el pes \( P \) (centre \( O \)) i els punts de suport \( A \) i \( B \) amb els cables que formen l’angle \(\theta\).
2. Estableix les condicions d’equilibri: La suma de forces verticals i horitzontals, així com la suma de moments, han de ser zero.
3. Equilibri vertical: \[ 2T\cos\theta = P \quad\Longrightarrow\quad T = \frac{P}{2\cos\theta} \]
4. Equilibri horitzontal: Les components \( T\sin\theta \) es cancel·len per simetria.
5. Verifica moments: Amb un sistema simètric, els moments es compensen, però en casos asimètrics cal incloure els efectes dels desplaçaments.
6. Resol els casos particulars: Si \( P \) actua fora del centre, ajusta les tensions \( T_A \) i \( T_B \) per mantenir l’equilibri.

7. Conclusions

En aquest problema d’estàtica, hem determinat que per a mantenir l’equilibri del crist amb anelles, la tensió en cada cable ha de complir:

\[ T = \frac{P}{2\cos\theta} \]

La simetria del sistema garanteix l’equilibri horitzontal i, en absència de moments addicionals (quan \( P \) actua exactament en \( O \)), l’equilibri de moments es compleix.

Aquesta anàlisi pot adaptar-se a casos particulars modificant les condicions (com ara el desplaçament del pes) i ajustant les tensions dels cables per mantenir l’estabilitat de l’estructura.

Esperem que aquesta explicació pas a pas t'ajudi a entendre el procediment per resoldre problemes d'estàtica aplicats a estructures com el crist amb anelles.