Problema Biomecànic: Equilibri de l'Articulació del Colze

Considerem un braç humà que sosté un pes amb l’avantbraç estirat horitzontalment. El colze actua com a punt de palanca. La situació es modela de la següent manera:

• La distància des del colze fins a la mà (on s'aplica el pes) és \( L = 0.30 \, \text{m} \).
• El pes sostingut a la mà és \( P = 100 \, \text{N} \).
• L’avantbraç té un pes propi de \( W_{arm} = 50 \, \text{N} \) que s'aplica al seu centre de massa, situat a \( \frac{L}{2} = 0.15 \, \text{m} \) del colze.
• El múscul bicipital s’insereix a una distància \( d = 0.04 \, \text{m} \) del colze.

1. Condició d'Equilibri de Moments

Per mantenir l’equilibri estàtic del braç, la suma dels moments respecte al colze ha de ser zero. Els moments que actuen són:

• Moment del pes a la mà: \( M_P = P \cdot L \)
• Moment del pes de l’avantbraç: \( M_{arm} = W_{arm} \cdot \frac{L}{2} \)
• Moment de la força muscular \( F_m \) (aplicada per la inserció del múscul bicipital): \( M_m = F_m \cdot d \)

Per l'equilibri: \[ F_m \cdot d = P \cdot L + W_{arm} \cdot \frac{L}{2} \]

2. Resolució Numèrica

Substituïm les dades: \[ F_m \cdot 0.04 = 100 \times 0.30 + 50 \times 0.15 \]

Calculem els moments: \[ 100 \times 0.30 = 30 \, \text{N}\cdot\text{m} \] \[ 50 \times 0.15 = 7.5 \, \text{N}\cdot\text{m} \]

El total de moments a compensar és: \[ M_{total} = 30 + 7.5 = 37.5 \, \text{N}\cdot\text{m} \]

La força muscular requerida serà: \[ F_m = \frac{37.5}{0.04} = 937.5 \, \text{N} \]

3. Anàlisi Addicional: Reacció a l'Articulació del Colze

A més de la força muscular \( F_m \), cal tenir en compte la reacció a l’articulació del colze, que és la resultant de la suma vectorial de:

• La força deguda al pes \( P \) a la mà.
• La força deguda al pes de l’avantbraç \( W_{arm} \).
• La força muscular \( F_m \) aplicada per mantenir l'equilibri.

Una anàlisi completa implicaria determinar la magnitud i la direcció d’aquesta reacció, aplicant també la condició d’equilibri de forces.

4. Conclusions

En aquest problema hem determinat que, per mantenir l’equilibri estàtic del braç humà subjectat a un pes de \( 100 \, \text{N} \), el múscul bicipital ha d’exercir una força de \( 937.5 \, \text{N} \). Aquest exemple posa de relleu com una petita distància d’accionament (\( d = 0.04 \, \text{m} \)) pot requerir una força molt gran per compensar moments significatius generats pel pes i el pes de l’avantbraç.

Aquest tipus d'anàlisis és fonamental per entendre la mecànica del cos humà i el funcionament de les articulacions en situacions d'esforç estàtic.