Refredar 1 Coca-Cola Zero amb gel — càlcul ampliat amb alumini i transferència de calor a l’aire
Aquest document inclou:
- Quina massa de gel a $-20^\circ\mathrm{C}$ cal per refredar una llauna (330 mL) amb etanol i la llauna d’alumini, fins a $5^\circ\mathrm{C}$.
- Consideració de la calor absorbida per la llauna d’alumini.
- Anàlisi del refredament extra causat per la transferència amb l’aire (convecció natural).
Assumpcions i constants
- Massa Coca-Cola: $m_c = 330$ g (densitat ≈ 1 g/mL)
- Massa alumini (llauna): $m_{Al}=13$ g (llauna típica 330 mL)[web:8]
- Temperatures: $T_i=20^\circ\mathrm{C}$, $T_f=5^\circ\mathrm{C}$
- Quantitat d’etanol: $10$ mL, densitat $0.789$ g/mL → $m_{eth}=7.89$ g
- Capacitats calorífiques:
- $c_w=4.186$ J/g·K (aigua)
- $c_{ice}=2.09$ J/g·K (gel)
- $c_{eth}=2.44$ J/g·K (etanol)
- $c_{Al}=0.90$ J/g·K (alumini)[web:8]
- Calor latent de fusió gel: $L_f=334$ J/g
- Densitat gel: $0.917$ g/mL
- Superfície llauna exposada: $A\approx 150$ cm² = $0.015$ m²
- Coeficient de transferència de calor convecció natural aire-llauna: $h_{air}=10$ W/m²·K (valor típic en aire quiet)[web:11][web:17]
1) Calor total a absorbir pel gel
El gel ha d’absorbir la calor cedida per:
- Bebida + etanol refredant-se: $(m_c c_w + m_{eth} c_{eth})\cdot \Delta T$
- Llauna alumini refredant-se: $m_{Al} c_{Al} \cdot \Delta T$
On $\Delta T = T_i-T_f = 15\,\mathrm{K}$.
Calor total cedida ($Q_{cedida}$):
\[
Q_{cedida} = 330 \cdot 4.186 \cdot 15 + 7.89 \cdot 2.44 \cdot 15 + 13 \cdot 0.90 \cdot 15 \\
= 20\,720.70 + 288.94 + 175.5 = 21\,185.14\,\mathrm{J}
\]
Calor total absorbida pel gel (per arribar a $5^\circ$C):
\[
q_{gel,per\,g} = c_{ice}\cdot 20 + L_f + c_w \cdot 5 = 2.09\cdot 20 + 334 + 4.186\cdot 5 = 396.73\,\mathrm{J/g}
\]
Massa de gel necessària:
\[
m_{gel} = \frac{Q_{cedida}}{q_{gel,per\,g}} = \frac{21\,185.14}{396.73} \approx 53.4\,\mathrm{g}
\]
Volum:
\[
V_{gel} = \frac{53.4}{0.917} \approx 58.2\,\mathrm{mL}
\]
Resultat: calen 53.4 g gel (≈ 58 mL) quan es considera la calor de la llauna.
2) Transferència de calor amb aire
Durant el refredament, certa calor es cedirà a l’aire per convecció.
Model: la potència de pèrdua per convecció és:
\[
P_{conv} = h_{air} \cdot A \cdot (T_{can}-T_{air})
\]
Si l’aire està a $22^\circ\mathrm{C}$ i la llauna a 20→5ºC, la mitjana de $\Delta T$ ≈ $10$ K:
\[
P_{conv} = 10\,\mathrm{W/m}^2\mathrm{K} \cdot 0.015\,\mathrm{m}^2 \cdot 10\,\mathrm{K} = 1.5\,\mathrm{W}
\]
Si el procés dura $4$ minuts ($t=240$ s), la calor perduda:
\[
Q_{conv} = P_{conv} \cdot t = 1.5\,\mathrm{W} \cdot 240\,\mathrm{s} = 360\,\mathrm{J}
\]
S’hauria d’afegir aquesta quantitat al càlcul del gel:
\[
Q_{cedida,\,real} = 21\,185.14 + 360 = 21\,545.14\,\mathrm{J}
\]
Nova massa de gel necessària:
\[
m_{gel,\,total} = \frac{21\,545.14}{396.73} \approx 54.34\,\mathrm{g}
\]
Volum:
\[
V_{gel,\,total} = \frac{54.34}{0.917} \approx 59.3\,\mathrm{mL}
\]
Resultat final amb transferència d’aire: 54.34 g gel (≈ 59 mL).
Taula resum escenaris revisats
| Escenari | Massa gel | Volum gel (≈) |
| Bebida + etanol (ideal, sense alumini ni aire) |
52.96 g |
57.7 mL |
| Bebida + etanol + alumini |
53.4 g |
58.2 mL |
| Bebida + etanol + alumini + aire |
54.34 g |
59.3 mL |
Observacions:
- Incloure la calor de la llauna i la pèrdua pel contacte amb l’aire incrementa la demanda total de gel en prop d’1.4 g (≈1.6 mL).
- Els càlculs es basen en una duració estimada de refredament de 4 minuts i un coeficient típic per aire quiet.
- La quantitat és lleugerament superior a l’ideal, reflectint millor la realitat física.