Refredar 1 Coca-Cola Zero (33 cL) amb gel — revisat tenint en compte la calor específica de l'etanol
Aquest document calcula:
- Quina massa de gel a $-20^\circ\mathrm{C}$ cal per refredar una llauna de 330 mL de Coca-Cola Zero de $20^\circ\mathrm{C}$ a $5^\circ\mathrm{C}$ (sense etanol).
- Si abans afegim 10 mL d’etanol (a $20^\circ\mathrm{C}$) i mantenim la mateixa quantitat de gel, quina serà la temperatura d’equilibri? (Ara considerem explícitament la capacitat calorífica de l’etanol.)
- Quina massa addicional de gel cal afegir per assolir $5^\circ\mathrm{C}$ amb l’etanol present?
Assumpcions i constants (valors usats)
- Massa de la Coca-Cola (aprox): $m_c = 330\ \mathrm{g}$ (330 mL, densitat ≈ 1.00 g/mL).
- Temperatures: $T_i=20^\circ\mathrm{C}$, $T_f=5^\circ\mathrm{C}$; gel inicial a $-20^\circ\mathrm{C}$.
- Capacitats calorífiques: $$c_w = 4.186\ \mathrm{J\,g^{-1}\,K^{-1}},\quad c_{ice}=2.09\ \mathrm{J\,g^{-1}\,K^{-1}},\quad c_{eth}=2.44\ \mathrm{J\,g^{-1}\,K^{-1}}.$$
- Calor latent de fusió: $L_f = 334\ \mathrm{J\,g^{-1}}$.
- Densitat del gel (per convertir massa→volum): $\rho_{ice}=0.9167\ \mathrm{g/mL}$.
- Densitat de l’etanol: $\rho_{eth}=0.789\ \mathrm{g/mL}$ (per 10 mL → massa).
- S’obvien pèrdues de calor amb l’ambient i efectes d’alarma del punt de congelació; es suposa barreja homogènia.
1) Quant de gel cal (sense etanol)
Calor cedida per la Coca-Cola refredant-se de $20^\circ$ a $5^\circ$:
$$Q_{\mathrm{Coca}} = m_c\,c_w\,(20-5).$$
Substituïm:
$$Q_{\mathrm{Coca}} = 330\cdot 4.186 \cdot 15 = 20\,720.70\ \mathrm{J}.$$
Calor que ha d’absorbir 1 g de gel perquè passi de $-20^\circ$ a $+5^\circ$ (escalfar sòlid de $-20\to0$, fondre, escalfar aigua de $0\to5$):
\[
q_{\text{per\_g}}
= c_{ice}\cdot(0-(-20)) \;+\; L_f \;+\; c_w\cdot(5-0).
\]
Numerant:
\[
q_{\text{per\_g}} = 2.09\cdot 20 + 334 + 4.186\cdot 5 = 41.8 + 334 + 20.93 = 396.73\ \mathrm{J/g}.
\]
Per tant la massa de gel necessària:
\[
m_{\text{gel}}=\dfrac{Q_{\mathrm{Coca}}}{q_{\text{per\_g}}}
= \dfrac{20\,720.70}{396.73} \approx 52.2287\ \mathrm{g}.
\]
Volum aproximat:
\[
V_{\text{gel}}=\dfrac{m_{\text{gel}}}{\rho_{ice}}
= \dfrac{52.2287}{0.9167}\approx 56.97\ \mathrm{mL}.
\]
Resultat (sense etanol): aproximadament 52.23 g de gel (≈ 57 mL).
2) Afegim 10 mL d’etanol (a 20 °C) — temperatura final amb la mateixa massa de gel
Massa d’etanol:
\[
m_{eth} = 10\ \mathrm{mL}\cdot 0.789\ \mathrm{g/mL} = 7.89\ \mathrm{g}.
\]
Ara la calor cedida per la beguda + etanol refredant-se de $20^\circ$ a una temperatura d’equilibri $T$ és
\[
Q_{\text{cedida}} = m_c c_w (20-T) + m_{eth} c_{eth} (20-T)
= (m_c c_w + m_{eth} c_{eth})(20-T).
\]
La calor absorbida pel gel (mateixa massa $m_{\text{gel}}$) per passar de $-20^\circ$ a $T$ és
\[
Q_{\text{absorvida}} = m_{\text{gel}}\big(c_{ice}\cdot 20 + L_f + c_w\cdot T\big).
\]
Igualem \(Q_{\text{cedida}}=Q_{\text{absorvida}}\) i desempertem per \(T\). Això dóna una equació lineal en \(T\). Fem els termes numèrics claus:
\begin{align*}
m_c c_w &= 330\cdot 4.186 = 1381.38\ \mathrm{J/K},\\
m_{eth} c_{eth} &= 7.89\cdot 2.44 = 19.2516\ \mathrm{J/K},\\
m_c c_w + m_{eth} c_{eth} &= 1400.6316\ \mathrm{J/K},\\
m_{\text{gel}}\big(c_{ice}\cdot 20 + L_f\big)
&= 52.2287\cdot(2.09\cdot 20 + 334)\\
&= 52.2287\cdot(41.8 + 334) \approx 19\,627.55\ \mathrm{J}.
\end{align*}
Resolem l’equació lineal (simplificació algebraica) i obtenim:
\[
T \approx 5.1783^\circ\mathrm{C}.
\]
Resultat: amb 10 mL d’etanol i la mateixa massa de gel (52.23 g) la temperatura d’equilibri seria aproximadament 5.18 °C (lleugerament per sobre de 5 °C).
3) Quina massa total de gel cal amb l’etanol per acabar exactament a 5 °C?
Ara volem que la temperatura final sigui $T_f=5^\circ\mathrm{C}$. La calor total cedida per Coca + etanol (20→5) és:
\[
Q_{\text{cedida,15K}} = (m_c c_w + m_{eth} c_{eth})\,(20-5).
\]
Substituïm:
\[
Q_{\text{cedida,15K}} = 1400.6316\cdot 15 = 21\,009.474\ \mathrm{J}.
\]
Com que cada gram de gel absorbeix \(q_{\text{per\_g}}=396.73\ \mathrm{J/g}\) per arribar a 5 °C, la massa total necessària és:
\[
m_{\text{gel,tot}} = \dfrac{21\,009.474}{396.73} \approx 52.9566\ \mathrm{g}.
\]
Per tant la massa addicional respecte del cas sense etanol (52.2287 g) és:
\[
\Delta m = 52.9566 - 52.2287 \approx 0.7279\ \mathrm{g},
\]
que en volum és aproximadament \(0.73/0.9167 \approx 0.80\ \mathrm{mL}.\)
Resultat: caldrien ≈ 52.96 g de gel en total amb l’etanol present; això suposa afegir només 0.73 g (≈ 0.8 mL) addicionals respecte del cas sense etanol.
Taula resum
| Escenari | Massa gel | Volum gel (≈) | Temp. final |
|---|
| Sense etanol | 52.23 g | ≈ 57.0 mL | 5.00 °C |
| Amb 10 mL etanol, mateixa massa de gel | 52.23 g | ≈ 57.0 mL | ≈ 5.18 °C |
| Amb 10 mL etanol, massa total per 5 °C | 52.96 g | ≈ 57.8 mL | 5.00 °C |
Observacions finals:
- Aquests càlculs sí tenen en compte la diferent capacitat calorífica de l’etanol (\(c_{eth}=2.44\ \mathrm{J\,g^{-1}\,K^{-1}}\)).
- En la pràctica convé usar una mica més de gel que el càlcul ideal per compensar pèrdues amb l’aire, la llauna i la no-homogeneïtat de la barreja.
- Si vols puc repetir els càlculs amb un altre valor de \(c_{eth}\) si disposes d’un valor experimental diferent, o mostrar un gràfic de temperatura final vs. massa de gel. Vols que ho faci?