Experiment de Cavendish (1798) - Dades Originals

En aquest exemple, substituirem les fórmules generals per les dades específiques que va utilitzar Cavendish en el seu experiment per determinar la constant de gravitació universal G.

Paso 1: Fórmula de la força gravitacional

La força d'atracció entre les dues masses es calcula amb la llei de la gravitació universal de Newton:

$$ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} $$

A l'experiment de Cavendish, les masses de plom utilitzades eren:

Paso 2: Mesura del desplaçament angular

Cavendish va mesurar un petit desplaçament angular causat per la força gravitatòria, la qual cosa va provocar un gir de la barra suspesa. L'angle de gir \( \theta \) va ser d'aproximadament 0.00036 radians.

El parell torsor es pot expressar com:

$$ \tau = F \cdot r $$

També es pot expressar com el producte de la constant de torsió \( \kappa \) del fil i l'angle de gir \( \theta \):

$$ \tau = \kappa \theta $$

A l'experiment, \( \kappa \) va ser mesurat en termes de la força necessària per fer girar la barra una unitat angular. Suposem que \( \kappa = 2.8 \times 10^{-7} \, \text{Nm/radian} \).

Paso 3: Igualar les dues expressions

Igualant les dues expressions del parell torsor obtenim:

$$ \kappa \theta = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \cdot r $$

Substituint les dades conegudes:

$$ 2.8 \times 10^{-7} \times 0.00036 = G \frac{158 \times 0.73}{0.23^2} \cdot 0.23 $$

Paso 4: Resolució per \( G \)

Ara resolvem per \( G \):

$$ G = \frac{2.8 \times 10^{-7} \times 0.00036 \times 0.23^2}{158 \times 0.73 \times 0.23} $$

Calculant el valor de cada part:

$$ G = \frac{2.88 \times 10^{-11}}{26.734} $$

Això dóna:

$$ G \approx 6.76 \times 10^{-11} \, \text{Nm}^2/\text{kg}^2 $$

El valor experimental obtingut per Cavendish per la constant de gravitació universal va ser aproximadament \( 6.74 \times 10^{-11} \, \text{Nm}^2/\text{kg}^2 \), molt proper al valor acceptat actualment.

Conclusió

L'experiment de Cavendish va ser el primer a mesurar la constant \( G \), utilitzant les propietats de torsió d'una barra i la força d'atracció entre masses de plom. Això va permetre calcular la força gravitatòria entre objectes quotidians i va establir una base sòlida per a les futures investigacions sobre la gravetat.

Experiment de Cavendish (1798)

L'experiment de Cavendish té com a objectiu mesurar la constant de gravitació universal G, que determina la força gravitacional entre dues masses. Cavendish va utilitzar un aparell conegut com a balança de torsió per detectar la força d'atracció gravitatòria entre masses de plom.

Paso 1: Fórmula de la força gravitacional

La força d'atracció gravitacional entre dues masses es descriu per la llei de la gravitació universal de Newton:

$$ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} $$

On:

Paso 2: Mesura del desplaçament angular

Cavendish va utilitzar una barra amb dues masses petites a cada extrem, suspesa per un fil de torsió, i va col·locar dues masses grans de plom a prop de les petites. La força gravitacional fa que la barra es giri, i Cavendish va mesurar l'angle de rotació.

El parell torsor \(\tau\) creat per aquesta força és:

$$ \tau = F \cdot r $$

Com que la barra està subjecta a una torsió, també podem expressar el parell torsor en termes de la constant de torsió del fil \( \kappa \) i l'angle de gir \( \theta \):

$$ \tau = \kappa \theta $$

Paso 3: Igualar les dues expressions

Igualant el parell torsor produït per la força gravitacional i el parell torsor causat per la torsió del fil:

$$ \kappa \theta = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \cdot r $$

Simplificant:

$$ \kappa \theta = G \frac{m_1 m_2}{r} $$

Paso 4: Determinació de la constant de gravitació universal

Finalment, podem aïllar \( G \) per determinar la constant de gravitació universal:

$$ G = \frac{\kappa \theta r}{m_1 m_2} $$

Aquesta fórmula ens permet calcular \( G \) un cop conegudes les masses, la distància entre elles, l'angle de rotació \( \theta \), i la constant de torsió \( \kappa \).

Conclusió

Amb aquest experiment, Cavendish va ser capaç de mesurar la força gravitacional entre masses de laboratori, la qual cosa va permetre el primer càlcul de la constant \( G \), un dels fonaments de la física moderna.