Fórmula de Drake, Escala de Kardashev i Paradoxa de Fermi
Fórmula de Drake
La fórmula de Drake estima el nombre de civilitzacions en la nostra galàxia amb les quals podríem establir comunicació. S'expressa com:
\[
N = R_* \cdot f_p \cdot n_e \cdot f_l \cdot f_i \cdot f_c \cdot L
\]
On:
- \(R_*\) és la taxa de formació d'estrelles per any.
- \(f_p\) és la fracció d'estrelles amb sistemes planetaris.
- \(n_e\) és el nombre de planetes amb condicions habitables per sistema.
- \(f_l\) és la fracció de planetes on es desenvolupa la vida.
- \(f_i\) és la fracció on la vida evoluciona cap a intel·ligència.
- \(f_c\) és la fracció que desenvolupa tecnologia detectable.
- \(L\) és el temps (en anys) durant el qual la civilització emet senyals detectables.
Per fer un càlcul, suposem els següents valors:
- \(R_* = 1.5\) estrelles/any
- \(f_p = 0.5\)
- \(n_e = 2\)
- \(f_l = 1\)
- \(f_i = 0.01\)
- \(f_c = 0.1\)
- \(L = 10\,000\) anys
Substituïm els valors a la fórmula:
\[
N = 1.5 \times 0.5 \times 2 \times 1 \times 0.01 \times 0.1 \times 10\,000
\]
Calculem pas a pas:
\[
\begin{aligned}
1.5 \times 0.5 &= 0.75, \\
0.75 \times 2 &= 1.5, \\
1.5 \times 1 &= 1.5, \\
1.5 \times 0.01 &= 0.015, \\
0.015 \times 0.1 &= 0.0015, \\
0.0015 \times 10\,000 &= 15.
\end{aligned}
\]
Per tant, segons aquesta estimació, hi ha aproximadament 15 civilitzacions amb les quals podríem intentar establir contacte.
Escala de Kardashev
L’escala de Kardashev classifica les civilitzacions segons la seva capacitat per utilitzar energia:
- Tipus I: Utilitza tota l’energia disponible al seu planeta.
- Tipus II: Controla l’energia d’una estrella (ex: esfera de Dyson).
- Tipus III: Domina l’energia de tota una galàxia.
Fórmula de Drake-Kardashev
La combinació de la fórmula de Drake amb l'escala de Kardashev es pot expressar com:
\[
N_K = R_* \cdot f_p \cdot n_e \cdot f_l \cdot f_i \cdot f_c \cdot L \cdot P(K)
\]
On:
- \( N_K \): Nombre esperat de civilitzacions segons el nivell Kardashev \( K \).
- \( P(K) \): Distribució de probabilitat segons el nivell Kardashev.
Una possible expressió per \( P(K) \) podria ser:
\[
P(K) = e^{-\alpha (K - K_0)}
\]
On:
- \( K \) és el nivell Kardashev.
- \( K_0 \) és el nivell mínim per a una civilització avançada.
- \( \alpha \) és un factor d'escalat.