La distància en un Univers amb matèria es calcula com:
\[ d_{\text{matèria}} = \frac{c}{H_0} \int_0^z \frac{dz'}{(1+z')^{3/2}} \]
On:
La integral a resoldre és:
\[ I = \int_0^z \frac{dz'}{(1+z')^{3/2}} \]
Fem el canvi de variable:
\[ u = 1 + z' \quad \Rightarrow \quad du = dz' \]
Així, la integral es reescriu com:
\[ I = \int_1^{1+z} u^{-3/2} \, du \]
La integral d’una potència és:
\[ \int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} \]
Aplicat a \( n = -3/2 \):
\[ I = \frac{u^{-1/2}}{-1/2} \Bigg|_1^{1+z} \]
\[ I = -2 \left[ (1+z)^{-1/2} - 1 \right] \]
Substituïm \( z = 1.5 \):
\[ I = -2 \left[ (2.5)^{-1/2} - 1 \right] \]
\[ I = -2 \left[ \frac{1}{\sqrt{2.5}} - 1 \right] \]
\[ I = -2 \left[ \frac{1}{1.58} - 1 \right] \]
\[ I = -2 \left[ 0.633 - 1 \right] = -2 \times (-0.367) = 0.734 \]
La distància s'obté com:
\[ d_{\text{matèria}} = \frac{c}{H_0} \times I \]
Substituint els valors:
\[ d_{\text{matèria}} = \frac{3.0 \times 10^5}{70} \times 0.734 \]
\[ d_{\text{matèria}} = 4.57 \text{ Gpc} \]
La distància mesurada amb supernoves és:
\[ d_{\text{observada}} = 7.24 \text{ Gpc} \]
És **un 58% més gran** del que prediu el model sense energia fosca.
Si només hi hagués matèria, l'Univers s'expandiria més lentament i la supernova estaria a **4.57 Gpc**.
Però observem que està a **7.24 Gpc**, demostrant que l'expansió de l'Univers s'ha accelerat.
Aquesta acceleració només s'explica amb una força repulsiva coneguda com a **energia fosca**.