L'Univers es descriu per la mètrica de **Friedmann-Robertson-Walker (FRW)**:
\[ ds^2 = c^2 dt^2 - a^2(t) d\chi^2 \]
On \( a(t) \) és el factor d’escala i \( \chi \) és la distància comòvil.
Com que els fotons viatgen a la velocitat de la llum \( c \), tenim:
\[ ds^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad c dt = a(t) d\chi \]
Per una font llunyana, la variació en el factor d’escala està relacionada amb el desplaçament al vermell:
\[ 1 + z = \frac{a_0}{a} \]
Derivant, obtenim:
\[ dz = -\frac{\dot{a}}{a^2} dt \]
Com que la constant de Hubble és:
\[ H = \frac{\dot{a}}{a} \]
Això implica que:
\[ dt = -\frac{dz}{H(z) (1+z)} \]
Com que la distància comòvil és:
\[ d = c \int dt \]
Substituint \( dt \) en funció de \( z \):
\[ d = c \int_0^z \frac{dz'}{H(z')(1+z')} \]
Si només hi ha matèria, l'equació de Friedmann ens diu que:
\[ H(z) = H_0 (1+z)^{3/2} \]
Substituint a la integral:
\[ d = \frac{c}{H_0} \int_0^z \frac{dz'}{(1+z')^{3/2}} \]
Aquesta és la integral que cal resoldre per obtenir la distància en un Univers dominat per matèria.