Resolució Pas a Pas de la Integral de la Distància Comòbil
La distància comòbil (\(D_c\)) es calcula amb la següent fórmula:
\[
D_c = c \int_0^{z_\text{max}} \frac{1}{H(z)} \, dz
\]
1. Definició dels Paràmetres
- \(c = 300,000 \, \text{km/s}\): velocitat de la llum.
- \(z_\text{max} = 1089\): desplaçament al vermell màxim observable (fons còsmic de microones).
- \(H(z)\): paràmetre de Hubble en funció del desplaçament al vermell:
\[
H(z) = H_0 \sqrt{\Omega_m (1+z)^3 + \Omega_r (1+z)^4 + \Omega_\Lambda}
\]
- \(H_0 = 70 \, \text{km/s/Mpc}\): constant de Hubble actual.
- \(\Omega_m = 0.3\): densitat fraccional de matèria.
- \(\Omega_r = 8.4 \times 10^{-5}\): densitat fraccional de radiació.
- \(\Omega_\Lambda = 0.7\): densitat fraccional d'energia fosca.
2. Resolució Simbòlica de la Integral
La integral es resol simbòlicament com:
\[
D_c = c \int_0^{z_\text{max}} \frac{1}{H_0 \sqrt{\Omega_m (1+z)^3 + \Omega_r (1+z)^4 + \Omega_\Lambda}} dz
\]
Aquesta integral no té una solució analítica exacta a causa de la complexitat del terme dins l'arrel quadrada. Per tant, es resol numèricament utilitzant eines computacionals o mètodes d'aproximació numèrica.
3. Substitució dels Valors
Substituïm els valors coneguts a l'expressió:
\[
D_c = 300,000 \int_0^{1089}
\frac{1}{70 \sqrt{0.3 (1+z)^3 + 8.4\times10^{-5} (1+z)^4 + 0.7}} dz
\]
Convertim \(H_0\) a unitats consistents per treballar amb \(c\):
- \(H_0 = 70\,\text{km/s/Mpc}\).
- Un megaparsec (Mpc) és equivalent a \(3.09 \times 10^{19} \, \text{km}\).
- Així:
\[
H_0 = \frac{70}{3.09 \times 10^{19}} \, \text{s}^{-1} = 2.27 \times 10^{-18} \, \text{s}^{-1}.
\]
4. Resolució Numèrica
Aquesta integral es resol numèricament amb eines computacionals com Python, MATLAB o WolframAlpha. El resultat final és:
\[
D_c = 14.4\,\text{Gpc}.
\]
5. Conversió a Anys Llum
- Sabem que \(1\,\text{Mpc} = 3.26\,\text{milions d'anys llum}\).
- Així:
\[
D_c = 14.4\,\text{Gpc} = 14.4\,\times\,1000\,\times\,3.26\,\text{milions d'anys llum}.
\]
- El resultat és:
\[
D_c = 46.5\,\text{mil milions d'anys llum}.
\]
6. Interpretació Final
Aquesta distància representa el radi màxim observable actualment, tenint en compte l'expansió contínua de l'Univers des del Big Bang.