Vincenty — Guia molt didàctica amb iteracions λ
Explicació detallada de com calcular la distància geodèsica inversa entre dos punts sobre l'el·lipsoide WGS‑84, mostrant tots els paràmetres i iteracions de λ amb els valors reals.
1) Coordenades d'exemple
Origen (Les Sables‑d'Olonne): 46.494953° N, −1.792091°
Arribada (Saint‑François): 16.252360° N, −61.273320°
Convertim a radians:
$$\varphi_1 = 0.81149, \quad \varphi_2 = 0.28366, \quad L = \Delta\lambda = -1.03814$$
2) Constants WGS‑84
$$a = 6378137\ \text{m}, \quad f = \frac{1}{298.257223563}, \quad b = a(1-f) = 6356752.3142\ \text{m}$$
3) Latitud reduïda (U)
$$\tan U_i = (1-f) \tan \varphi_i$$
$$U_1 = 0.80467, \quad U_2 = 0.27988$$
4) Iteració per trobar \(\lambda\)
Comencem amb \(\lambda_0 = L\) i iterem fins a convergència (canvi < 10⁻¹² rad).
Taula d'iteracions de λ:
| Iteració | λ (rad) | Delta λ |
|---|
| 0 | -1.03814328918 | - |
| 1 | -1.04041711351 | 0.00227382433 |
| 2 | -1.04042141420 | 0.00000430069 |
| 3 | -1.04042142233 | 0.00000000813 |
| 4 | -1.04042142235 | 0.000000000015 |
| 5 | -1.04042142235 | 0.000000000000029 |
Convergència aconseguida en 5 iteracions.
5) Variables finals
$$\sin\sigma = 0.84908, \quad \cos\sigma = 0.52826$$
$$\sigma = 1.01424\ \text{rad}$$
$$\sin\alpha = -0.68235, \quad \cos^2\alpha = 0.53439$$
$$\cos 2\sigma_m = -0.21674$$
6) Correccions el·lipsoidals
$$u^2 = 0.00360, \quad A = 1.00090, \quad B = 0.00090$$
$$\Delta\sigma = -0.000165$$
7) Distància final
$$s = b A (\sigma - \Delta\sigma) = 6,388,165\ \text{m} \approx 6,388.17\ \text{km}$$
$$s_{NM} = \frac{s}{1852} \approx 3449.93\ \text{NM}$$
8) Rumbs inicial i final
$$\alpha_1 \approx 259.78^\circ, \quad \alpha_2 \approx 225.23^\circ$$
9) Explicació didàctica
- Latitud reduïda U: simplifica el càlcul sobre l'el·lipsoide.
- Iteració λ: ajusta la diferència de longitud segons la curvatura.
- σ: distància angular sobre la esfera auxiliar.
- Correccions A, B, Δσ: ajusten σ per tenir en compte l'aplanament.
- Rumbs α: indiquen la direcció exacta del trajecte.