Vincenty — Exposició clara i unificada (pas a pas)

1) Coordenades — exemple

Origen (Les Sables‑d'Olonne): 46.494953° N, −1.792091°
Arribada (Saint‑François): 16.252360° N, −61.273320°

Convertim a radians:

$$\varphi_1 = 0.8114900154, \quad \varphi_2 = 0.2836571932, \quad L = \Delta\lambda = -1.03814328918$$

2) Constants WGS‑84

$$a = 6378137\ \text{m}, \quad f = \frac{1}{298.257223563}, \quad b = a(1-f) = 6356752.314245179\ \text{m}$$

3) Latitud reduïda (U)

$$\tan U_i = (1-f)\tan\varphi_i$$ $$U_1 = 0.8046711232, \quad U_2 = 0.2798844412$$

4) Iteració sobre \(\lambda\)

Fórmules per a cada iteració:

$$\sin\sigma = \sqrt{(\cos U_2 \sin \lambda)^2 + (\cos U_1 \sin U_2 - \sin U_1 \cos U_2 \cos \lambda)^2}$$ $$\cos\sigma = \sin U_1 \sin U_2 + \cos U_1 \cos U_2 \cos \lambda$$ $$\sigma = \arctan2(\sin\sigma, \cos\sigma)$$ $$\sin\alpha = \frac{\cos U_1 \cos U_2 \sin \lambda}{\sin\sigma}, \quad \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$$ $$\cos 2\sigma_m = \cos\sigma - \frac{2 \sin U_1 \sin U_2}{\cos^2\alpha}$$ $$C = \frac{f}{16} \cos^2\alpha (4 + f (4-3\cos^2\alpha))$$ $$\lambda_{n+1} = L + (1-C) f \sin\alpha \left(\sigma + C \sin\sigma (\cos2\sigma_m + C \cos\sigma(-1+2\cos^2 2\sigma_m))\right)$$

5) Variables finals i derivació

$$\sin\sigma = 0.8490818742, \quad \cos\sigma = 0.5282612714$$ $$\sigma = 1.01424484398\ \text{rad}$$ $$\sin\alpha = -0.6823541685, \quad \cos^2\alpha = 0.5343927888$$ $$\cos2\sigma_m = -0.2167434823$$

6) Correccions el·lipsoidals

$$u^2 = \cos^2\alpha \frac{a^2-b^2}{b^2} = 0.003601538459174671$$ $$A = 1 + \frac{u^2}{16384} (4096 + u^2(-768 + u^2(320-175 u^2))) = 1.0008997775060744$$ $$B = \frac{u^2}{1024}(256 + u^2(-128 + u^2(74-47u^2))) = 0.000898766598111629$$ $$\Delta\sigma = B\sin\sigma \left[\cos2\sigma_m + \frac{B}{4}(\cos\sigma(-1+2\cos^2 2\sigma_m) - \frac{B}{6}\cos2\sigma_m(-3+4\sin^2\sigma)(-3+4\cos^2 2\sigma_m))\right] = -0.00016548474700496725$$

7) Distància geodèsica

$$s = b A (\sigma - \Delta\sigma) = 6,388,165.05\ \text{m} \approx 6,388.17\ \text{km}$$ $$s_{NM} = \frac{s}{1852} \approx 3449.93\ \text{NM}$$

8) Rumbs

$$\alpha_1 \approx 259.78^\circ \quad \text{(inicial)}$$ $$\alpha_2 \approx 225.23^\circ \text{ (final)}$$

9) Resum i notes

Usem la iteració sobre \(\lambda\), latitud reduïda \(U\), i correccions \(u^2, A, B, \Delta\sigma\) per obtenir la distància precisa sobre l’el·lipsoide. Tot renderitzat amb MathJax3.