Distància geodèsica amb l’algorisme de Vincenty (WGS-84)

Explicació detallada de les fórmules de Vincenty

1. Constants i sistema WGS-84:

• a: semi-eix major de l'el·lipsoide, 6378137 m (equador).
• f: aplatament de l'el·lipsoide, 1/298.257223563, que mesura el grau d'aplanament.
• b = a(1-f): semi-eix menor, pols.

2. Latituds reduïdes \(U_1, U_2\):
Corregeixen la latitud geomètrica per l’aplatament, definides per:
\( U = \arctan((1-f) \tan \varphi) \)

3. Iteració de lambda \(\lambda\):
Lambda es calcula iterativament amb la fórmula:
\[ \lambda = L + (1 - C) f \sin \alpha \left( \sigma + C \sin \sigma \left( \cos 2\sigma_m + C \cos \sigma (-1 + 2 \cos^2 2\sigma_m) \right) \right) \] On \(C\), \(\sigma\), \(\alpha\), i \(\sigma_m\) depenen de lambda i latituds.

4. Fórmules auxiliars:

• \(\sin \alpha\) i \(\cos^2 \alpha\): Angle de la línia geodèsica respecte l'equador.
• \(\sigma\): Angle central entre punts a l'el·lipsoide.
• \(u^2\): Paràmetre que ajusta la curvatura per l’aplatament.
• Coeficients \(A\) i \(B\): Corregixen la distància per modelar l'el·lipsoide.
• \(\Delta \sigma\): Ajust addicional per a precisió millorada.

5. Càlcul final de la distància:
\[ s = b A (\sigma - \Delta \sigma) \] Aquesta és la distància geodèsica en metres.

Aquest mètode proporciona precisió mil·limètrica i és àmpliament utilitzat en geodèsia i navegació.