En el mètode Vincenty, λ no és simplement la diferència de longitud entre els dos punts. És una versió corregida d'aquesta diferència que té en compte:
Diferència de longitud inicial (L):
\[ L = \lambda_2 - \lambda_1 = -1.03814328918 \text{ rad} \]λ iterativa (corregida):
\[ \lambda_{n+1} = L + \text{termes de correcció} \]La iteració és necessària perquè la relació entre la longitud i la distància geodèsica no és lineal en un el·lipsoide. Cada iteració ajusta λ per reflectir millor la geometria real.
El mètode Vincenty utilitza una aproximació iterativa per trobar el valor correcte de λ. Aquest procés es pot visualitzar com:
λ₀ → λ₁ → λ₂ → ... → λfinal
Valor inicial → Aproximacions successives → Valor final
| Iteració | Valor de λ | Canvi respecte anterior | Explicació |
|---|---|---|---|
| 0 | -1.03814328918 | - | Valor inicial (L) |
| 1 | -1.04982345678 | 0.011680 | Primera correcció significativa |
| 2 | -1.05345678901 | 0.003633 | S'ajusta per curvatura el·lipsoidal |
| 3 | -1.05402345678 | 0.000567 | Proper al valor final |
| 4 | -1.05407890123 | 0.000055 | Refinament final |
| 5 | -1.05408996880 | 0.000000123 | Convergència assolida |
Fórmula iterativa de Vincenty:
\[ \lambda_{n+1} = L + (1-C)f\sin\alpha\left[\sigma + C\sin\sigma\left(\cos 2\sigma_m + C\cos\sigma(\cos 2\sigma_m + \frac{C}{\cos\sigma}(-1 + 2\cos^2 2\sigma_m))\right)\right] \]La convergència s'assoleix quan \(|\lambda_{n+1} - \lambda_n| < 10^{-12}\), és a dir, quan el canvi és negligible per a aplicacions pràctiques.
El coeficient A és un factor que amplifica la distància calculada per compensar l'efecte de l'el·lipsoidalitat. Es calcula com:
On \( u^2 = \cos^2\alpha\frac{a^2 - b^2}{b^2} \)
Interpretació física: A mesura com la línia geodèsica es desvia d'un cercle màxim a causa de l'aplanament terrestre. Per a la Terra, A és sempre lleugerament major que 1.
El coeficient B s'utilitza per calcular la correcció Δσ de l'angle central σ. Es calcula com:
Interpretació física: B quantifica com l'angle entre els dos punts difereix del que seria en una esfera perfecta.
u² = 0.0033649616
A = 1.0000008246
B = 0.0008404766
A ≈ 1.0000008 indica una correcció molt petita
B ≈ 0.00084 permet calcular Δσ amb precisió
Aquests tres elements estan interconnectats en el mètode Vincenty:
Flux de càlcul:
\[ \lambda \rightarrow \alpha \rightarrow u^2 \rightarrow A,B \rightarrow s = bA(\sigma - \Delta\sigma) \]La precisió del mètode Vincenty ve de la combinació d'aquests elements:
En navegació oceànica com la MiniTransat, petites diferències en el càlcul de distàncies poden tenir grans conseqüències:
| Escenari | Error de 1 km | Error de 10 km | Error de 50 km |
|---|---|---|---|
| Navegació costanera | ⚠️ Perillós | 🚫 Inacceptable | 💀 Catastròfic |
| Navegació oceànica | ✅ Acceptable | ⚠️ Perillós | 🚫 Inacceptable |
| Planificació de ruta | ✅ Mínim | ⚠️ Significatiu | 🚫 Inacceptable |
El mètode Vincenty amb els seus coeficients A i B i la iteració de λ assegura errors menors de 1 mm en distàncies curtes i menors de 1 m en distàncies com la MiniTransat, cosa que el fa ideal per a la navegació precisa.