L'Algorisme de Vincenty: Desglossament Complet i Iteració
L'algorisme de Vincenty modela la Terra com un el·lipsoide oblat, i per trobar la distància geodèsica més curta, resol una equació transcendental mitjançant la iteració de $\lambda$.
1. Paràmetres Inicials i El·lipsoide (WGS-84)
- Semieix Major ($a$): Radi equatorial.
- Semieix Menor ($b$): Radi polar.
Aplatament ($f$):
$$f = \frac{a - b}{a}$$
2. Latitud Reduïda ($U$)
Conversió de la latitud geodèsica ($\phi$) a l'esfera auxiliar:
$$\tan U = (1 - f) \cdot \tan \phi$$
Obtenim $U_1$ i $U_2$.
3. La Variable Iterativa: $\lambda$
La diferència de longitud real $L$ es converteix en la variable iterativa $\lambda$ (diferència de longitud a l'esfera auxiliar).
Inicialització: $\lambda = L = \text{Long}_2 - \text{Long}_1$.
4. El Cor de l'Algorisme: L'Iteració de $\lambda$
El bucle refina $\lambda$ fins que convergeix, utilitzant quatre variables intermèdies crucials:
A. Distància Angular ($\sigma$) i Azimut Equatorial ($\alpha$)
Aquests defineixen la distància d'arc i la direcció de la geodèsica, basats en el $\lambda$ actual.
$$\sin \sigma = \sqrt{(\cos U_2 \sin \lambda)^2 + (\cos U_1 \sin U_2 - \sin U_1 \cos U_2 \cos \lambda)^2}$$
$$\cos \sigma = \sin U_1 \sin U_2 + \cos U_1 \cos U_2 \cos \lambda$$
$$\sigma = \arctan2(\sin \sigma, \cos \sigma)$$
$$\sin \alpha = \frac{\cos U_1 \cos U_2 \sin \lambda}{\sin \sigma}$$
$$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$$
B. Posició del Punt Mig ($2\sigma_m$)
Localització del centre de l'arc angular respecte a l'equador, per modular l'efecte de la curvatura el·lipsoidal.
$$\cos(2\sigma_m) = \cos \sigma - \frac{2 \sin U_1 \sin U_2}{\cos^2 \alpha}$$
C. Factor de Correcció ($C$)
Quantifica l'error introduït en utilitzar una esfera auxiliar, directament lligat a l'aplatament $f$ i la direcció $\alpha$:
$$C = \frac{f}{16} \cos^2 \alpha \cdot [4 + f (4 - 3 \cos^2 \alpha)]$$
D. Recalculació de $\lambda$ (L'Iteració)
Aquest nou valor de $\lambda$ es compara amb l'anterior per verificar la convergència.
$$\lambda_{nou} = L + (1 - C) \cdot f \cdot \sin \alpha \cdot \left\{ \sigma + C \sin \sigma \left[ \cos(2\sigma_m) + C \cos \sigma (-1 + 2 \cos^2(2\sigma_m)) \right] \right\}$$
El bucle es repeteix fins que $|\lambda_{nou} - \lambda_{antic}| < 10^{-12}$.
5. Càlcul Final de la Distància ($s$)
Un cop $\lambda$ ha convergit, es calcula la distància geodèsica real ($s$) a la superfície de l'el·lipsoide, utilitzant el quadrat de l'excentricitat $u^2$ i les constants $A$ i $B$.
$$ u^2 = \cos^2 \alpha \cdot \frac{a^2 - b^2}{b^2} $$
Constants de Correcció per la Distància
$$ A = 1 + \frac{u^2}{16384} (4096 + u^2 (-768 + u^2 (320 - 175 u^2))) $$
$$ B = \frac{u^2}{1024} (256 + u^2 (-128 + u^2 (74 - 47 u^2))) $$
Terme Delta Sigma ($\Delta \sigma$)
$$ \Delta \sigma = B \sin \sigma \left\{ \cos(2\sigma_m) + \frac{B}{4} \left[ \cos \sigma (-1 + 2 \cos^2(2\sigma_m)) - \frac{B}{6} \cos(2\sigma_m) (-3 + 4 \sin^2 \sigma) (-3 + 4 \cos^2(2\sigma_m)) \right] \right\} $$
Distància Final ($s$)
$$ s = b \cdot A \cdot (\sigma - \Delta \sigma) $$