Aquesta calculadora inclou explicacions i exemples pràctics. Introdueix coordenades i calcula la distància geodèsica amb l'algorisme de Vincenty. Veurem tots els passos intermedis!
A continuació, t'explico pas a pas com funciona l'algorisme de Vincenty per calcular la distància més curta (geodèsica) i els rumbs (direccions) entre dos punts a la Terra. La Terra no és una esfera perfecta, sinó un el·lipsoide (com una pilota una mica aixafada als pols), i aquest mètode ho té en compte per ser molt precís.
Usem el model WGS-84, estàndard per GPS. Són valors fixos que descriuen la forma de la Terra:
Les latituds normals (φ) són geodèsiques, però per calcular necessitem les latituds reduïdes (U), que ajusten per l'aplatisament:
\[ U = \arctan((1 - f) \tan \phi) \]
Aquest és el cor de l'algorisme: repetim càlculs fins que convergim a la solució. Comencem amb la diferència de longituds \( L = \lambda_2 - \lambda_1 \) i inicialitzem \( \lambda = L \).
A cada iteració (normalment 5-10 vegades):
\[ \sin \sigma = \sqrt{ (\cos U_2 \sin \lambda)^2 + (\cos U_1 \sin U_2 - \sin U_1 \cos U_2 \cos \lambda)^2 } \]
\[ \cos \sigma = \sin U_1 \sin U_2 + \cos U_1 \cos U_2 \cos \lambda \]
\[ \sigma = \arctan2(\sin \sigma, \cos \sigma) \]
Explicació: σ és l'angle central entre els punts, com l'arc d'un cercle.\[ \sin \alpha = \frac{\cos U_1 \cos U_2 \sin \lambda}{\sin \sigma} \]
\[ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \]
Explicació: α és com l'angle de la brúixola per anar d'un punt a l'altre.\[ \cos 2\sigma_m = \cos \sigma - \frac{2 \sin U_1 \sin U_2}{\cos^2 \alpha} \]
\[ C = \frac{f}{16} \cos^2 \alpha (4 + f (4 - 3 \cos^2 \alpha)) \]
Explicació: Aquests ajusten per la forma ovalada de la Terra.\[ \lambda = L + (1 - C) f \sin \alpha \left( \sigma + C \sin \sigma (\cos 2\sigma_m + C \cos \sigma (-1 + 2 \cos^2 2\sigma_m)) \right) \]
Explicació: Repetim fins que λ canviï menys de 0.000000000001 (precisió extrema!).Amb els valors convergits, calculem:
\[ u^2 = \cos^2 \alpha \frac{a^2 - b^2}{b^2} \]
\[ A = 1 + \frac{u^2}{16384} (4096 + u^2 (-768 + u^2 (320 - 175 u^2))) \]
\[ B = \frac{u^2}{1024} (256 + u^2 (-128 + u^2 (74 - 47 u^2))) \]
\[ \Delta \sigma = B \sin \sigma \left( \cos 2\sigma_m + \frac{B}{4} (\cos \sigma (-1 + 2 \cos^2 2\sigma_m) - \frac{B}{6} \cos 2\sigma_m (-3 + 4 \sin^2 \sigma) (-3 + 4 \cos^2 2\sigma_m)) \right) \]
\[ s = b A (\sigma - \Delta \sigma) \]
Rumb inicial (α₁, des de l'origen):
\[ \alpha_1 = \arctan2( \cos U_2 \sin \lambda, \cos U_1 \sin U_2 - \sin U_1 \cos U_2 \cos \lambda ) \]
Rumb final (α₂, a l'arribada):
\[ \alpha_2 = \arctan2( \cos U_1 \sin \lambda, -\sin U_1 \cos U_2 + \cos U_1 \sin U_2 \cos \lambda ) \]
Introdueix les coordenades en graus decimals (ex: 41.3851 per Barcelona). Usa els valors per defecte per provar!