Aquest document explica pas a pas, de manera matemàtica, com sumar tres vectors nàutics (vector del vaixell, vector del vent i vector del corrent). Els vectors es defineixen en coordenades polars: rumb (θ en graus de 0 a 360, on 0° és Nord, 90° Est, 180° Sud, 270° Oest) i velocitat (magnitud en nusos).
Assignem valors realistes als vectors:
Objectiu: Calcular el vector resultant \( \vec{R} = \vec{V} + \vec{W} + \vec{C} \).
Per sumar vectors, convertim a components cartesianes, on \( x \) és la component Est i \( y \) la component Nord:
\[ x = v \sin(\theta) \] \[ y = v \cos(\theta) \]on \( \theta \) està en radians (\( \theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{deg}} \times \pi / 180 \)).
Per \( \vec{V} \): \( \theta = 146^\circ \), \( v = 10 \), \( \theta_{\text{rad}} = 146 \times \pi / 180 \approx 2.548 \)
\( V_x = 10 \sin(146^\circ) \approx 10 \times 0.5592 \approx 5.592 \)
\( V_y = 10 \cos(146^\circ) \approx 10 \times (-0.8290) \approx -8.290 \)
Per \( \vec{W} \): \( \theta = 240^\circ \), \( v = 5 \), \( \theta_{\text{rad}} = 240 \times \pi / 180 \approx 4.189 \)
\( W_x = 5 \sin(240^\circ) \approx 5 \times (-0.8660) \approx -4.330 \)
\( W_y = 5 \cos(240^\circ) \approx 5 \times (-0.5) \approx -2.500 \)
Per \( \vec{C} \): \( \theta = 30^\circ \), \( v = 3 \), \( \theta_{\text{rad}} = 30 \times \pi / 180 \approx 0.5236 \)
\( C_x = 3 \sin(30^\circ) \approx 3 \times 0.5 \approx 1.500 \)
\( C_y = 3 \cos(30^\circ) \approx 3 \times 0.8660 \approx 2.598 \)
Resumint:
Sumem les components \( x \) i \( y \) per separat:
\[ R_x = V_x + W_x + C_x \approx 5.592 + (-4.330) + 1.500 \approx 2.762 \] \[ R_y = V_y + W_y + C_y \approx -8.290 + (-2.500) + 2.598 \approx -8.192 \]El vector resultant és \( \vec{R} \approx (2.762, -8.192) \) nusos (Est, Nord).
La magnitud:
\[ |\vec{R}| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \approx \sqrt{2.762^2 + (-8.192)^2} \approx \sqrt{7.631 + 67.159} \approx \sqrt{74.790} \approx 8.65 \text{ nusos} \]El rumb \( \theta_R \) (de 0° a 360°) es calcula utilitzant la funció \( \arctan \) (implementada computacionalment com `atan2(R_y, R_x)`):
\[ \theta_R = \arctan\left(\frac{R_y}{R_x}\right) \times \frac{180}{\pi} \]Com que \( R_x \approx 2.762 \) (positiu) i \( R_y \approx -8.192 \) (negatiu), el vector està al quart quadrant. Utilitzant `atan2` (que considera el signe de les components):
\[ \theta_R \approx \arctan\left(\frac{-8.192}{2.762}\right) \approx -71.31^\circ \]Per obtenir el rumb entre 0° i 360°:
\[ \theta_R \approx 360 - 71.31 \approx 288.69^\circ \]El vector resultant té una velocitat d'aproximadament 8.65 nusos i un rumb de 288.69°.
En el mètode punta a cua, els vectors es col·loquen un darrere l'altre:
El càlcul analític confirma que \( \vec{R} \) té un rumb de 288.69° i una velocitat de 8.65 nusos.
Per sumar tres vectors amb el mètode del paralel·logram, procedim en dos passos:
Per sumar \( \vec{W} \) (240°, 5 nusos) i \( \vec{C} \) (30°, 3 nusos):
Càlcul de \( \vec{S} \):
\[ S_x = W_x + C_x \approx -4.330 + 1.500 \approx -2.830 \] \[ S_y = W_y + C_y \approx -2.500 + 2.598 \approx 0.098 \]Magnitud de \( \vec{S} \):
\[ |\vec{S}| \approx \sqrt{(-2.830)^2 + 0.098^2} \approx \sqrt{8.009 + 0.010} \approx \sqrt{8.019} \approx 2.83 \text{ nusos} \]Rumb de \( \vec{S} \), usant `atan2`:
\[ \theta_S \approx \arctan\left(\frac{0.098}{-2.830}\right) \approx 178.02^\circ \]Per sumar \( \vec{V} \) (146°, 10 nusos) i \( \vec{S} \) (178.02°, 2.83 nusos):
El càlcul analític confirma que \( \vec{R} \approx (2.762, -8.192) \), amb magnitud 8.65 nusos i rumb 288.69°.
El vector resultant \( \vec{R} \) té:
Ambdós mètodes (punta a cua i paralel·logram) donen el mateix resultat, com és esperat, ja que la suma vectorial és commutativa i associativa.