Distància geodèsica Karney (Les Sables-d’Olonne → Saint-François)
Aquesta pàgina mostra pas a pas el càlcul aproximat de la distància geodèsica entre dos punts sobre l'el·lipsoide WGS-84, seguint la formulació de Karney. Cada etapa explica la funció dels paràmetres i les fórmules emprades.
1. Paràmetres de l'el·lipsoide WGS-84
| Paràmetre | Descripció | Valor |
|---|
| a | Semieix major de l'el·lipsoide (equatorial) | 6378137 m |
| f | Aplatisament \( f = \frac{a-b}{a} \) | 1/298.257223563 ≈ 0.0033528107 |
| b | Semieix menor \( b = a(1-f) \) | 6356752.3142 m |
2. Coordenades dels punts
| Punt | Latitud (φ) | Longitud (λ) |
|---|
| Les Sables-d’Olonne | 46.5000° N | -1.7833° E |
| Saint-François (Guadalupe) | 16.2500° N | -61.4000° E |
3. Latitud reduïda (β)
La latitud reduïda es defineix per:
\[
\beta = \arctan\!\big((1 - f) \, \tan \phi\big)
\]
Com que els meridians es comprimeixen per l’aplatisament, la latitud reduïda és lleugerament menor que la latitud geogràfica.
Càlcul aproximat:
\[
\beta_1 \approx \arctan(0.9966471893 \cdot \tan 46.5^\circ) = 46.35^\circ
\]
\[
\beta_2 \approx \arctan(0.9966471893 \cdot \tan 16.25^\circ) = 16.20^\circ
\]
4. Diferència de longitud (L)
\[
L = \lambda_2 - \lambda_1 = -61.4000 - (-1.7833) = -59.6167^\circ
\]
5. Angle central (σ, aproximat)
L’angle σ descriu la separació angular entre els punts sobre la superfície de l’el·lipsoide reduït:
\[
\sigma = \arccos\!\left(\sin \beta_1 \sin \beta_2 + \cos \beta_1 \cos \beta_2 \cos L\right)
\]
Càlcul:
\[
\sigma \approx 60.14^\circ = 1.05 \text{ rad}
\]
6. Distància geodèsica (s)
\[
s = b \cdot \sigma
\]
\[
s \approx 6356752.3142 \cdot 1.05 \approx 6{,}674{,}000 \text{ m } = 6674 \text{ km}
\]
7. Azimuts
Inicial (α₁):
\[
\alpha_1 = \arctan2\!\left(\cos \beta_2 \sin L,\; \cos \beta_1 \sin \beta_2 - \sin \beta_1 \cos \beta_2 \cos L \right)
\]
\[
\alpha_1 \approx 247.5^\circ
\]
Final (α₂):
\[
\alpha_2 = \arctan2\!\left( \cos \beta_1 \sin L,\; -\sin \beta_1 \cos \beta_2 + \cos \beta_1 \sin \beta_2 \cos L \right)
\]
\[
\alpha_2 \approx 64.8^\circ
\]
8. Resultats finals
- Distància geodèsica: 6674 km
- Azimut inicial: 247.5°
- Azimut final: 64.8°
Per a aplicacions de precisió mil·limètrica, s'han d'utilitzar les expansions sèries completes del mètode de Karney (2013), que minimitzen l'error de càlcul fins a l'ordre del nanòmetre.