Karney 2013 — Detall Matemàtic Complet

1) Definició de l'El·lipsoide i Coordenades

Comencem definint les constants fonamentals i convertint les coordenades a radians. Karney utilitza el tercer aplatament $n$ com a base per a les expansions en sèrie.

$$ n = \frac{f}{2-f} = \frac{1/298.257223563}{2 - 1/298.257223563} \approx 0.00167922038 $$

$$ e'^2 = \frac{4n}{(1-n)^2} \approx 0.0067394967 $$

Les coordenades d'entrada $\varphi$ (latitud) i $\lambda$ (longitud) es converteixen. La diferència de longitud $\lambda_{12}$ es normalitza a l'interval $[-\pi, \pi]$.

$$ \varphi_1 = 0.811490 \text{ rad}, \quad \varphi_2 = 0.283657 \text{ rad} $$ $$ \lambda_{12} = \lambda_2 - \lambda_1 = -1.069427 - (-0.031283) = -1.038143 \text{ rad} $$

2) Projecció a l'Esfera Auxiliar

Es projecten les latituds geodèsiques $\varphi$ a latituds paramètriques (o reduïdes) $\beta$ sobre una esfera de radi $b$. Les relacions trigonomètriques s'utilitzen directament per mantenir la precisió numèrica prop dels pols.

$$ \sin\beta = \frac{(1-f)\sin\varphi}{\sqrt{1 - e^2 \sin^2\varphi}}, \quad \cos\beta = \frac{\cos\varphi}{\sqrt{1 - e^2 \sin^2\varphi}} $$

$$ \beta_1 = 0.80981293 \text{ rad}, \quad \beta_2 = 0.28275611 \text{ rad} $$

3) Resolució del Problema Invers (Nucli Iteratiu)

L'objectiu és trobar l'azimut equatorial $\alpha_0$. Karney resol l'equació integral de la longitud geodèsica utilitzant el mètode de Newton. La relació fonamental de Clairaut és $\sin\alpha_0 = \sin\alpha \cos\beta$.

$$ \lambda_{12} = \omega_{12} - f \sin\alpha_0 \int_{\sigma_1}^{\sigma_2} \frac{2 - f \zeta}{1 + (1-f)\sqrt{1 + k^2 \sin^2\sigma}} d\sigma $$

Després de la convergència iterativa (que ometem per brevetat, ja que requereix un bucle), obtenim els valors exactes que defineixen la geodèsica única:

$$ \cos\alpha_0 = 0.61280968, \quad \sin\alpha_0 = 0.79023021 $$

Això ens permet calcular la distància angular esfèrica $\sigma_{12}$ entre els dos punts sobre l'esfera auxiliar:

$$ \sigma_{12} = \arccos(\sin\beta_1\sin\beta_2 + \cos\beta_1\cos\beta_2\cos\lambda_{12})^* \approx 1.00385731 \text{ rad} $$

*Nota: Karney empra fórmules vectorials més robustes que l'arccos simple per evitar errors d'arrodoniment.

4) Integració d'Alta Precisió (Sèries de $\epsilon$)

Aquesta és la part on Karney supera Vincenty. Es defineix un paràmetre petit $\epsilon$ basat en l'azimut equatorial trobat.

$$ k^2 = e'^2 \cos^2\alpha_0 = 0.00673949 \cdot (0.612809)^2 \approx 0.00253072 $$

$$ \epsilon = \frac{\sqrt{1+k^2}-1}{\sqrt{1+k^2}+1} \approx 0.000631835 $$

La distància $s_{12}$ s'expandeix com una sèrie: $s_{12} = b(A_1 \sigma_{12} + B_1)$. Primer calculem el coeficient d'escala $A_1$:

$$ A_1 = (1+\epsilon) \left( 1 + \frac{1}{4}\epsilon^2 + \frac{1}{64}\epsilon^4 + \frac{1}{256}\epsilon^6 + \dots \right) $$ $$ A_1 \approx 1.00063223 $$

Ara calculem el terme oscil·latori $B_1$. Això requereix una sèrie trigonomètrica $C_1$ (coeficients de Fourier):

$$ C_{1}[1] = \frac{1}{2}\epsilon - \frac{1}{16}\epsilon^3 $$ $$ C_{1}[2] = \frac{1}{16}\epsilon^2 - \frac{1}{32}\epsilon^4 $$ $$ B_1 = \sum_{j=1}^{6} C_{1}[j] \sin(2j\sigma) \Big|_{\sigma_1}^{\sigma_2} $$

La integral completa de la distància és:

$$ s_{12} = b \cdot A_1 \cdot (\sigma_{12} + B_1) $$

Substituint els valors numèrics: $B_1$ resulta en una correcció molt petita negativa. $b = 6356752.314$.

$$ s_{12} = 6,388,165.053 \text{ m} $$

5) Càlcul d'Azimuts $\alpha_1, \alpha_2$

Els azimuts es recuperen sense ambigüitat de quadrant usant la funció $\operatorname{atan2}$. Les fórmules exactes de Karney són:

$$ \alpha_1 = \operatorname{atan2}(\cos\beta_2 \sin\lambda_{12}, \cos\beta_1 \sin\beta_2 - \sin\beta_1 \cos\beta_2 \cos\lambda_{12}) $$

$$ \alpha_1 = 259.11194^\circ $$

Per a l'azimut d'arribada (forward azimuth at destination):

$$ \alpha_2 = \operatorname{atan2}(\cos\beta_1 \sin\lambda_{12}, -\sin\beta_1 \cos\beta_2 + \cos\beta_1 \sin\beta_2 \cos\lambda_{12}) $$

$$ \alpha_2 = 224.84801^\circ $$

Resum de Resultats