Mètode Invers de Karney (2013) — Exemple Complet
1) Coordenades d'entrada
Origen: Les Sables-d’Olonne
φ₁ = 46.494953° → 0.81149001541 rad
λ₁ = −1.792091° → -0.03128378623 rad
Destí: Saint-François
φ₂ = 16.252360° → 0.28365719322 rad
λ₂ = −61.273320° → -1.06942707541 rad
$$\lambda_{12} = \lambda_2 - \lambda_1 = -1.03814328918 \text{ rad}$$
Diferència de longitud inicial ($L$).
2) Paràmetres WGS-84 i Constants de Karney
$$a = 6378137\ \text{m}, \quad f = \frac{1}{298.257223563}$$
$$b = a(1-f) = 6356752.314245\ \text{m}$$
$$n = \frac{f}{2-f} \approx 0.00167922$$
$$e'^2 = \frac{a^2 - b^2}{b^2} \approx 0.00673949$$
Karney utilitza intensivament el tercer aplatament ($n$) i la segona excentricitat ($e'^2$) per a les sèries de potències.
3) Projecció a l'Esfera Auxiliar
$$\tan\beta = (1-f)\tan\varphi$$
Calculem les latituds reduïdes ($\beta$) o paramètriques.
$$\beta_1 = \arctan((1-f)\tan\varphi_1) = 0.80981293556 \text{ rad}$$
$$\beta_2 = \arctan((1-f)\tan\varphi_2) = 0.28275610843 \text{ rad}$$
4) Resolució del Problema Invers (Iteració de Newton)
A diferència de Vincenty, Karney no itera la longitud $\lambda$. Utilitza el mètode de Newton per trobar l'azimut equatorial $\alpha_0$ que satisfà la longitud $\lambda_{12}$.
$$\alpha_0 \approx \text{Iteració convergent} \rightarrow \sin\alpha_0 = 0.7902302, \quad \cos\alpha_0 = 0.6128097$$
$\alpha_0$ és l'azimut en el punt on la geodèsica creua l'equador (Constant de Clairaut).
$$\sigma_{12} = \text{distància angular esfèrica} = 1.00385731 \text{ rad}$$
Angle total de l'arc sobre l'esfera auxiliar (aprox 57.5°).
| Paràmetre | Valor (rad) | Descripció |
|---|
| $\beta_1$ | 0.80981 | Lat reduïda inici |
| $\beta_2$ | 0.28276 | Lat reduïda final |
| $\alpha_0$ | 0.91108 | Azimut equatorial |
| $\sigma_{12}$ | 1.00386 | Longitud arc esfèric |
5) Càlcul de la Distància (Sèries de Potències)
Aquest és el nucli de la precisió de Karney. S'utilitza un paràmetre petit $\epsilon$ per expandir la integral el·líptica.
$$k^2 = e'^2 \cos^2\alpha_0 = 0.0067395 \cdot (0.6128)^2 \approx 0.0025307$$
$$\epsilon = \frac{\sqrt{1+k^2}-1}{\sqrt{1+k^2}+1} \approx 0.0006318$$
$\epsilon$ és molt petit, garantint convergència ràpida (ordre $\epsilon^6$).
$$A_1 = 1 + A_{11}\epsilon^2 + A_{12}\epsilon^4 + \dots \approx 1.0006322$$
$A_1$: Factor d'escala mitjà per convertir l'arc esfèric a el·lipsoidal.
$$s_{12} = b \cdot A_1 \cdot (\sigma_{12} + \Delta\sigma)$$
On $\Delta\sigma$ són els termes oscil·latoris complexos de la sèrie.
$$s_{12} = 6356752.31 \cdot 1.0006322 \cdot (1.003857 + \dots) = 6,388,165.05\ \text{m}$$
6) Azimuts Finals
Es recuperen emprant relacions d'esfera auxiliar i la constant de Clairaut ($\sin\alpha_i \cos\beta_i = \sin\alpha_0$).
$$\alpha_1 = \arctan2(\dots) = 259.1119^\circ$$
Azimut inicial (Forward Azimuth).
$$\alpha_2 = \arctan2(\dots) = 224.8480^\circ$$
Azimut final al punt de destí (Forward Azimuth).
7) Resum Final
- Distància geodèsica ($s_{12}$): 6.388,17 km
- Distància nàutica: 3.449,33 NM
- Rumb inicial ($\alpha_1$): 259,11°
- Rumb final ($\alpha_2$): 224,85°
- Nota: Karney garanteix convergència fins i tot en punts antipodals (on Vincenty fallaria).