El mètode de triangulació en geodèsia — explicació completa

1) Idea bàsica

Mesuro amb gran precisió una base $\,AB\,$ i, des dels vèrtexs, observo angles cap a nous punts. Amb trigonometria determino la resta de costats i vaig cosint triangles que comparteixen costats. Això permet portar la precisió de la base a distàncies molt més llargues.

2) Trigonometria bàsica del triangle

Llei dels sinus: $$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}$$

Llei dels cosinus (per diagonals o comprovacions): $$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$$

En xarxes curtes (quilòmetres) el model pla és suficient. En triangulacions llargues, calen fórmules geodèsiques sobre l’el·lipsoide i l’excedent esfèric.

3) «Resta»/reducció de la base: de la cinta a l’el·lipsoide

Quan dius «com resto la base», en geodèsia vol dir reduir la longitud mesurada fins a la referència desitjada. Seqüència típica:

1. Correccions d’instrument/cinta (opcional si uses estació total calibrada):
   • Temperatura: $\;c_T=\alpha\,(T-T_0)\,L$ (acer: $\alpha\!\approx\!11.6\times10^{-6}/\!^\circ\!C$).
   • Tracció: $\;c_P=\dfrac{(P-P_0)\,L}{A\,E}$.
   • Sagnat (cinta alçapremada): $\;c_{\text{sag}}=-\dfrac{w^2 L^3}{24\,T^2}$.
2. Reducció de pendent a horitzontal: amb desnivell $\,\Delta h$ i llargada en pendent $\,L_s$, $$L_h=\sqrt{L_s^2-\,(\Delta h)^2}=L_s\cos\theta.$$
3. A nivell del mar (MSL): a cota mitjana $h$, $$L_{\text{MSL}}=L_h\,\frac{R}{R+h}\;\;\text{(aprox.)}$$ on $R$ és el radi mitjà terrestre.
4. A l’el·lipsoide / quadrícula: $$L_{\text{ell}}\approx L_{\text{MSL}}\qquad;\qquad L_{\text{grid}}=k\,L_{\text{ell}}$$ amb $k$ el factor d’escala de projecció (p. ex. $k\!\approx\!0.9996$ a UTM al meridià central).

En moltes obres modernes, l’estació total ja retorna distància horitzontal i corregeix temperatura/pressió. Tot i així, la reducció a MSL o a el·lipsoide continua sent rellevant si vols compatibilitzar amb coordenades geodèsiques.

4) Exemple numèric complet (dos triangles connectats)

Suposa una base mesurada AB i angles observats. Es calcula el primer triangle ABC, es pren el costat AC com a nova base i es resol el segon triangle ACD. Finalment, es dedueix una distància més llarga BD amb la llei dels cosinus.

4.1 Dades

4.2 Triangle ABC (base coneguda $c=AB_{\text{MSL}}$)

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C},\qquad c=999.921\;\text{m}$$

Resultats: $\;\boxed{BC=a=916.050\;\text{m}},\;\boxed{AC=b=1006.087\;\text{m}}$.

Comprovació d’excedent esfèric: àrea $\approx 0.409\,\text{km}^2 \Rightarrow E \approx 0.0021\;\text{arcsec}$; negligible $\Rightarrow$ model pla vàlid.

4.3 Triangle ACD (costat compartit $AC$ com a nova base)

$$\frac{CD}{\sin\angle A}=\frac{AD}{\sin\angle C}=\frac{AC}{\sin\angle D},\qquad AC=1006.087\;\text{m}$$

Resultats: $\;\boxed{CD=768.344\;\text{m}},\;\boxed{AD=893.821\;\text{m}}$.

4.4 Distància més llarga $BD$ per connexió

Al vèrtex compartit $C$, l’angle entre $CB$ i $CD$ és $\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 62°29′10″ + 58°40′50″ = \boxed{121°10′00″}$. Amb la llei dels cosinus:

$$BD^2=BC^2+CD^2-2\,BC\,CD\cos\angle BCD$$

Resultat: $\;\boxed{BD=1\,469.019\;\text{m}}\;$ (molt superior a la base inicial $AB$). Així es propaga la precisió a distàncies més grans.

5) Qualitat, comprovacions i ajustos

5.1 Tancament angular

En cada triangle: $$\omega = (A+B+C) - (180^\circ + E).$$ Reparteix l’error $\omega$ entre els tres angles (p. ex. a parts iguals: $-\omega/3$) o segons pesos de mesura. En xarxes, fes un mínims quadrats.

5.2 Força de figura

Triangles propers a equilàters (≈60°) minimitzen la propagació d’errors. Evita angles massa aguts o obtusos.

5.3 Orientació a meridià / azimut

Per convertir direccions relatives en rumbs absoluts cal com a mínim un azimut conegut (astronòmic o geodèsic) d’un costat de la xarxa. En projeccions com UTM, tingues en compte la convergència del meridià i el factor d’escala $k$ per passar a rumbs de quadrícula i distàncies projectades.

6) Fórmules ràpides (resum)

• Llei dels sinus: $\;a = \dfrac{\sin A}{\sin C}\,c,\; b = \dfrac{\sin B}{\sin C}\,c.$
• Llei dels cosinus: $\;c = \sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}.$
• Reducció a horitzontal: $\;L_h = L_s\cos\theta = \sqrt{L_s^2 - (\Delta h)^2}.$
• A nivell del mar: $\;L_{\text{MSL}} = L_h\dfrac{R}{R+h}.$
• A la quadrícula: $\;L_{\text{grid}} = k\,L_{\text{ell}}.$
• Excedent esfèric (aprox.): $\;E\;['']\;\approx 206{,}265\;\dfrac{\text{Àrea}}{R^2}.$

7) Mini-calculadora (opcional)

Entra base reduïda ($c$) i angles del primer triangle ($A,B$). A continuació entra els angles del segon triangle sobre el costat compartit $AC$ ($\angle A$, $\angle C$). Calcula $BC, AC, CD, AD$ i la distància llarga $BD$.