L'experiment d'Eratòstenes

L' experiment d'Eratòstenes va servir per calcular la circumferència de la Terra fa més de 2.000 anys utilitzant geometria, observació i càlcul matemàtic.^[4][5][6]

Explicació de l’Experiment

Eratòstenes va observar que, el migdia del solstici d’estiu, a la ciutat de Syene (actual Assuan, Egipte), el Sol estava directament sobre el cap (no feia ombra al fons d’un pou), mentre que a Alexandria, al mateix moment, un pal vertical sí projectava una ombra. Això volia dir que el Sol estava a una posició diferent respecte de la Terra en els dos llocs, i que la Terra havia de ser corba.^[5][4]

Càlcul pas a pas

1. Mesura de l’angle solar a Alexandria
   A Alexandria, Eratòstenes va mesurar l’angle d’elevació del Sol al migdia. Va veure que un pal projectava una ombra que formava un angle d’aproximadament $$7.2^\circ$$ amb la vertical. Això equival a 1/50 d’un cercle complet ($$\frac{360}{7.2} = 50$$).^[9][5]
2. Distància entre les dues ciutats
   Va saber (a partir de viatgers i càlculs de caravanes) que la distància entre Syene i Alexandria era d’aproximadament 5.000\text{ estadis} (uns 800 km, segons el tipus d’estadi que s’utilitzava, però podem prendre un valor proporcional).^[10]
3. Càlcul de la circumferència de la Terra
   Si l’angle entre les dues ciutats representa 1/50 del cercle complet ($$360^\circ$$), la distància entre elles (s) també representa 1/50 de la circumferència de la Terra (C):
   $$C = s \times 50 = (5.000\text{ estadis}) \times 50 = 250.000\text{ estadis}$$

   Depenent de la conversió, Eratòstenes va obtenir un valor molt pròxim al real. Si usem la conversió moderna (1 estadi ≈ 157.5 metres), el valor és:

   $$252.000\text{ estadis} \times 157.5\text{ m} = 39.690\text{ km}$$

   El valor real actual de la circumferència terrestre és uns $$40.008\text{ km}$$, de manera que l’error va ser de menys d’un 0,12%, una aproximació sorprenentment precisa per l’època.^[6][10]

Resum del procés amb fórmules

• Mesura de l’angle ($$\theta$$) amb trigonometria:
  
  $$\theta = \arctan\left(\frac{\text{longitud de l’ombra}}{\text{alçada del pal}}\right)$$
• Relació proporcional:
  
  $$\frac{\theta}{360^\circ} = \frac{s}{C}$$
• Resolució de la circumferència:
  
  $$C = \frac{360^\circ \cdot s}{\theta}$$
  On $$s$$ és la distància entre les ciutats i $$\theta$$ l’angle mesurat.^[9][10]

Importància de l’experiment

Aquest experiment demostra la capacitat científica d’observació i deducció d’Eratòstenes i és una base fonamental per a l’astronomia i la geografia, sent realitzat avui dia en moltes escoles amb resultats similars a l’experiment original.^[5][6]