Mini Transat 2025 – Càlcul de Distància entre dos punts

Nota: al mateix menú tens una altra pàgina amb l’algorisme de Vincenty, que és una alternativa més precisa quan es vol treballar sobre un model d’el·lipsoide terrestre.

1. Coordenades dels punts

Sortida (Les Sables-d’Olonne): \( \phi_1 = 46.5^\circ, \lambda_1 = -1.78^\circ \)

Arribada (Guadeloupe): \( \phi_2 = 16.25^\circ, \lambda_2 = -61.5^\circ \)

2. Conversió a radians

\( \phi_1 = 46.5 \times \frac{\pi}{180} = 0.8116 \, \text{rad} \)
\( \lambda_1 = -1.78 \times \frac{\pi}{180} = -0.0311 \, \text{rad} \)
\( \phi_2 = 16.25 \times \frac{\pi}{180} = 0.2837 \, \text{rad} \)
\( \lambda_2 = -61.5 \times \frac{\pi}{180} = -1.0734 \, \text{rad} \)

3. Teorema de Pitàgores – Sense correcció

Utilitzem només la diferència directa en radians:

\( x = \lambda_2 - \lambda_1 = -1.0423 \, \text{rad} \)
\( y = \phi_2 - \phi_1 = -0.528 \, \text{rad} \)
\( d_{\text{angular}} = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{1.086 + 0.278} = \sqrt{1.364} = 1.168 \, \text{rad} \)
\( d = 6371 \cdot 1.168 = \boxed{7438 \, \text{km}} \)

4. Teorema de Pitàgores – Amb correcció de longitud

Compensem l’escalament longitudinal amb el cosinus de la latitud mitjana.

\( \phi_m = \frac{\phi_1 + \phi_2}{2} = 0.5477 \, \text{rad} \)
\( \cos(\phi_m) = 0.854 \)
\( x = \Delta \lambda \cdot \cos(\phi_m) = -1.0423 \cdot 0.854 = -0.890 \, \text{rad} \)
\( y = -0.528 \, \text{rad} \)
\( d = 6371 \cdot \sqrt{(-0.890)^2 + (-0.528)^2} = 6371 \cdot \sqrt{0.793 + 0.278} = 6371 \cdot \sqrt{1.071} = \boxed{6594 \, \text{km}} \)

5. Càlcul de rumb inicial i rumb final

El rumb és l’angle que hauria de seguir el vaixell respecte al nord. El calculem amb trigonometria esfèrica.

\( \Delta \lambda = \lambda_2 - \lambda_1 = -1.0423 \, \text{rad} \)
\( y = \sin(\Delta \lambda) \cdot \cos(\phi_2) \)
\( x = \cos(\phi_1) \cdot \sin(\phi_2) - \sin(\phi_1) \cdot \cos(\phi_2) \cdot \cos(\Delta \lambda) \)
\( \theta = \operatorname{atan2}(y, x) \)
\( \text{Rumb inicial} = (\theta \cdot \frac{180}{\pi} + 360) \bmod 360 \)

Per a aquest cas, el rumb inicial surt aproximadament cap al sud-oest, amb un angle d’uns 246° respecte al nord geogràfic.

\( \Delta \lambda = 0.0311 - (-1.0734) = 1.0423 \, \text{rad} \)
\( y = \sin(-\Delta \lambda) \cdot \cos(\phi_1) \)
\( x = \cos(\phi_2) \cdot \sin(\phi_1) - \sin(\phi_2) \cdot \cos(\phi_1) \cdot \cos(-\Delta \lambda) \)
\( \theta_{final} = \operatorname{atan2}(y, x) \)
\( \text{Rumb final} = (\theta_{final} \cdot \frac{180}{\pi} + 360) \bmod 360 \)

6. Què fa exactament `atan2`?

atan2(y, x) és una versió millorada de l’arctangent. En lloc de rebre un únic valor, rep y i x i calcula l’angle del vector (x, y).

Per què és tan útil?

sap en quin quadrant és el punt;
evita errors quan x = 0;
retorna l’angle correcte encara que el resultat sigui negatiu;
és ideal per calcular rumbs i orientacions.

Idea visual: si tens un vector que apunta, per exemple, cap a l’esquerra i amunt, atan2 et dirà l’angle correcte sense confondre’l amb un vector que apunta cap a la dreta i avall.

7. Visualització del triangle i catets

Aquí representem gràficament els catets horitzontal i vertical amb la distància.

8. Càlcul amb Haversine (trigonometria esfèrica)

\( \Delta \phi = -0.528 \)
\( \Delta \lambda = -1.0423 \)
\( a = \sin^2(-0.264) + \cos(0.8116) \cdot \cos(0.2837) \cdot \sin^2(-0.521) = 0.069 + 0.157 = 0.226 \)
\( c = 2 \cdot \arctan2(\sqrt{0.226}, \sqrt{1-0.226}) = 0.98 \, \text{rad} \)
\( d = 6371 \cdot 0.98 = \boxed{6244 \, \text{km}} \)

9. Conversió a milles nàutiques

\( \text{Distància sense correcció} = \frac{7438}{1.852} = 4016 \, \text{MN} \)
\( \text{Distància amb correcció} = \frac{6594}{1.852} = 3560 \, \text{MN} \)
\( \text{Distància Haversine} = \frac{6244}{1.852} = 3371 \, \text{MN} \)

10. Comparació final

Pitàgores sense correcció: 7438 km (4016 MN)
Pitàgores amb correcció: 6594 km (3560 MN)
Haversine: 6244 km (3371 MN)
Rumb inicial: aproximadament 246°

1. Pitàgores sense correcció: Aquest mètode tracta la superfície terrestre com un pla cartesià, i calcula la distància entre dos punts usant directament la diferència entre latituds i longituds expressades en radians. Tot i ser senzill i intuïtiu, no té en compte que la Terra és una esfera (o geoide), i per tant produeix una sobreestimació significativa en distàncies llargues com la de la Mini Transat. Aquest model dona una distància de 7438 km, que és clarament superior a la real.

2. Pitàgores amb correcció longitudinal: Aquest mètode millora l'anterior tenint en compte que la distància en longitud disminueix a mesura que ens allunyem de l'equador. Per això, s’aplica el cosinus de la latitud mitjana com a factor d’escala per ajustar la component horitzontal (longitudinal). Això redueix la distància calculada fins a uns 6594 km, la qual cosa és una millor aproximació, però encara assumeix una geometria plana i ignora completament la curvatura real de la Terra.

3. Fórmula de Haversine: Aquest és el mètode més precís dels tres per calcular distàncies entre dos punts sobre l’esfera terrestre. Fa ús de funcions trigonomètriques per determinar l’angle central entre els punts i després calcula la distància real sobre la superfície. És especialment útil per trajectes llargs com travesses oceàniques, ja que considera la curvatura de la Terra. En aquest cas, la distància resultant és de 6244 km, i es considera la millor estimació per rutes globals com la Mini Transat.

11. Visualització sobre el mapa

🔴 Esfèrica (Haversine), 🔵 Plana amb correcció, 🟢 Catets sense correcció

12. Calculadora de distància i rumb

Introdueix les coordenades per calcular distància (Haversine) i rumb inicial:

Latitud origen: Longitud origen: Latitud destí: Longitud destí: