Mini Transat 2025 – Càlcul de Distància entre dos punts

1. Coordenades dels punts

Sortida (Les Sables-d’Olonne): \( \phi_1 = 46.5^\circ, \lambda_1 = -1.78^\circ \)

Arribada (Guadeloupe): \( \phi_2 = 16.25^\circ, \lambda_2 = -61.5^\circ \)

2. Conversió a radians

\( \phi_1 = 46.5 \times \frac{\pi}{180} = 0.8116 \, \text{rad} \)
\( \lambda_1 = -1.78 \times \frac{\pi}{180} = -0.0311 \, \text{rad} \)
\( \phi_2 = 16.25 \times \frac{\pi}{180} = 0.2837 \, \text{rad} \)
\( \lambda_2 = -61.5 \times \frac{\pi}{180} = -1.0734 \, \text{rad} \)

3. Teorema de Pitàgores – Sense correcció

Utilitzem només la diferència directa en radians:

\( x = \lambda_2 - \lambda_1 = -1.0423 \, \text{rad} \)
\( y = \phi_2 - \phi_1 = -0.528 \, \text{rad} \)
\( d_{\text{angular}} = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{1.086 + 0.278} = \sqrt{1.364} = 1.168 \, \text{rad} \)
\( d = 6371 \cdot 1.168 = \boxed{7438 \, \text{km}} \)

4. Teorema de Pitàgores – Amb correcció de longitud

Compensem l’escalament longitudinal amb el cosinus de la latitud mitjana.

\( \phi_m = \frac{\phi_1 + \phi_2}{2} = 0.5477 \, \text{rad} \)
\( \cos(\phi_m) = 0.854 \)
\( x = \Delta \lambda \cdot \cos(\phi_m) = -1.0423 \cdot 0.854 = -0.890 \, \text{rad} \)
\( y = -0.528 \, \text{rad} \)
\( d = 6371 \cdot \sqrt{(-0.890)^2 + (-0.528)^2} = 6371 \cdot \sqrt{0.793 + 0.278} = 6371 \cdot \sqrt{1.071} = \boxed{6594 \, \text{km}} \)

5. Visualització del triangle i catets

Aquí representem gràficament els catets horitzontal i vertical amb la distància.

6. Càlcul amb Haversine (trigonometria esfèrica)

\( \Delta \phi = -0.528 \)
\( \Delta \lambda = -1.0423 \)
\( a = \sin^2(-0.264) + \cos(0.8116) \cdot \cos(0.2837) \cdot \sin^2(-0.521) = 0.069 + 0.157 = 0.226 \)
\( c = 2 \cdot \arctan2(\sqrt{0.226}, \sqrt{1-0.226}) = 0.98 \, \text{rad} \)
\( d = 6371 \cdot 0.98 = \boxed{6244 \, \text{km}} \)

7. Conversió a milles nàutiques

\( \text{Distància sense correcció} = \frac{7438}{1.852} = 4016 \, \text{MN} \)
\( \text{Distància amb correcció} = \frac{6594}{1.852} = 3560 \, \text{MN} \)
\( \text{Distància Haversine} = \frac{6244}{1.852} = 3371 \, \text{MN} \)

8. Comparació final

Pitàgores sense correcció: 7438 km (4016 MN)
Pitàgores amb correcció: 6594 km (3560 MN)
Haversine: 6244 km (3371 MN)

La fórmula de Haversine ofereix una estimació més acurada per distàncies llargues perquè considera la curvatura de la Terra.