Mini Transat 2025 – Comparació de Càlculs de Distància
1. Coordenades geogràfiques
Sortida: Les Sables-d’Olonne → (46.5° N, -1.78° E)
Arribada: Guadeloupe → (16.25° N, -61.5° E)
2. Conversió de graus a radians
\[
\phi_1 = 46.5^\circ = 0.8116 \text{ rad} \\
\lambda_1 = -1.78^\circ = -0.0311 \text{ rad} \\
\phi_2 = 16.25^\circ = 0.2837 \text{ rad} \\
\lambda_2 = -61.5^\circ = -1.0734 \text{ rad}
\]
3. Derivació: distància plana (Pitàgores)
\[ d = R \cdot \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} \]
Sense correcció de longitud (4.1):
\[ x = \lambda_2 - \lambda_1 = -1.0423 \text{ rad} \\
y = \phi_2 - \phi_1 = -0.528 \text{ rad} \\
d = 6371 \cdot \sqrt{(-1.0423)^2 + (-0.528)^2} \approx 6371 \cdot 1.165 \approx 7423 \text{ km} \]
Amb correcció de longitud (4.2):
\[ \phi_m = \frac{\phi_1 + \phi_2}{2} = 0.5477 \text{ rad} \\
x = -1.0423 \cdot \cos(0.5477) \approx -0.890 \\
y = -0.528 \\
d = 6371 \cdot \sqrt{(-0.890)^2 + (-0.528)^2} \approx 6371 \cdot 1.035 \approx 6594 \text{ km} \]
4. Fórmula de Haversine
\[ \Delta \phi = \phi_2 - \phi_1 = -0.528 \text{ rad} \\
\Delta \lambda = \lambda_2 - \lambda_1 = -1.0423 \text{ rad} \]
\[ a = \sin^2\left(\frac{\Delta \phi}{2}\right) + \cos(\phi_1) \cdot \cos(\phi_2) \cdot \sin^2\left(\frac{\Delta \lambda}{2}\right) \]
\[ a = 0.069 + 0.687 \cdot 0.960 \cdot 0.238 = 0.226 \]
\[ c = 2 \cdot \arctan2(\sqrt{0.226}, \sqrt{1-0.226}) = 0.98 \text{ rad} \]
\[ d = 6371 \cdot 0.98 = 6244 \text{ km} \]
5. Conversió a milles nàutiques
\[
1 \text{ MN} = 1.852 \text{ km} \\
\text{Pitàgores (amb correcció)} = \frac{6594}{1.852} \approx 3560 \text{ MN} \\
\text{Haversine} = \frac{6244}{1.852} \approx 3371 \text{ MN}
\]
6. Comparació visual
🔴 Esfèrica (Haversine), 🔵 Plana amb correcció, 🟢 Catets sense correcció