Mini Transat 2025 – Comparació de Càlculs de Distància
En aquesta pàgina analitzem tres maneres de calcular la distància entre dos punts geogràfics:
la trigonometria plana sense correcció, la trigonometria plana amb correcció i la trigonometria esfèrica (Haversine).
1. Coordenades geogràfiques
Sortida: Les Sables-d’Olonne → (46.5° N, -1.78° E)
Arribada: Guadeloupe → (16.25° N, -61.5° E)
2. Conversió de graus a radians
\[
\begin{aligned}
\phi_1 &= 46.5^\circ = 0.8116 \text{ rad} \\
\lambda_1 &= -1.78^\circ = -0.0311 \text{ rad} \\
\phi_2 &= 16.25^\circ = 0.2837 \text{ rad} \\
\lambda_2 &= -61.5^\circ = -1.0734 \text{ rad}
\end{aligned}
\]
3. Teorema de Pitàgores pas a pas
3.1 Sense correcció (Terra plana simple)
\[
x = \lambda_2 - \lambda_1 = -1.0423 \\
y = \phi_2 - \phi_1 = -0.528 \\
d = 6371 \cdot \sqrt{x^2 + y^2} = 6371 \cdot \sqrt{1.320} \approx 6371 \cdot 1.1489 = 7317 \text{ km}
\]
3.2 Amb correcció de longitud (cosinus latitud mitjana)
\[
\phi_m = \frac{\phi_1 + \phi_2}{2} = 0.5477 \\
x = (\lambda_2 - \lambda_1) \cdot \cos(\phi_m) = -1.0423 \cdot 0.854 = -0.890 \\
y = -0.528 \\
d = 6371 \cdot \sqrt{x^2 + y^2} = 6371 \cdot \sqrt{0.792 + 0.279} = 6371 \cdot 1.034 \approx 6594 \text{ km}
\]
4. Càlcul amb fórmula Haversine
\[
\begin{aligned}
\Delta\phi &= -0.528, \quad \Delta\lambda = -1.0423 \\
a &= \sin^2(-0.264) + \cos(0.8116) \cdot \cos(0.2837) \cdot \sin^2(-0.521) \\
&= 0.069 + 0.687 \cdot 0.960 \cdot 0.238 = 0.069 + 0.157 = 0.226 \\
c &= 2 \cdot \arctan2(\sqrt{0.226}, \sqrt{1-0.226}) = 2 \cdot \arctan2(0.475, 0.880) \approx 0.98 \\
d &= 6371 \cdot 0.98 = 6244 \text{ km}
\end{aligned}
\]
5. Comparació global
| Mètode | Distància (km) | Milles nàutiques |
|---|
| Pitàgores sense correcció | 7317 | 3950 |
| Pitàgores amb correcció | 6594 | 3560 |
| Haversine (esfèrica) | 6244 | 3371 |
6. Representació visual sobre el mapa
El mapa mostra:
- Línia vermella: distància esfèrica (Haversine)
- Línia blava: distància plana amb correcció
- Línies verdes i taronges: catets de Pitàgores sense correcció