Mini Transat 2025 – Comparació de Càlculs de Distància

En aquesta pàgina analitzem dues maneres de calcular la distància entre dos punts geogràfics: la trigonometria plana (basada en el teorema de Pitàgores) i la trigonometria esfèrica (amb la fórmula de Haversine).

1. Coordenades geogràfiques

Sortida: Les Sables-d’Olonne → (46.5° N, -1.78° E)
Arribada: Guadeloupe → (16.25° N, -61.5° E)

2. Conversió de graus a radians

\[ \begin{aligned} \phi_1 &= 46.5^\circ = 0.8116 \text{ rad} \\ \lambda_1 &= -1.78^\circ = -0.0311 \text{ rad} \\ \phi_2 &= 16.25^\circ = 0.2837 \text{ rad} \\ \lambda_2 &= -61.5^\circ = -1.0734 \text{ rad} \end{aligned} \]

3. Derivació del teorema de Pitàgores

La distància plana es basa en: \[ d = R \cdot \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} \] amb catets definits per la diferència en latitud i longitud.

4. Càlcul amb teorema de Pitàgores

4.1 Sense correcció (longitud no ajustada)

\[ \begin{aligned} \Delta \lambda &= -1.0734 - (-0.0311) = -1.0423 \\ \Delta \phi &= 0.2837 - 0.8116 = -0.528 \\ x &= \Delta \lambda = -1.0423 \\ y &= \Delta \phi = -0.528 \\ d &= 6371 \cdot \sqrt{(-1.0423)^2 + (-0.528)^2} \\ &= 6371 \cdot \sqrt{1.086 + 0.279} = 6371 \cdot \sqrt{1.365} \approx \boxed{7444\ \text{km}} \end{aligned} \]

4.2 Amb correcció per longitud (cosinus latitud mitjana)

\[ \begin{aligned} \phi_m &= \frac{0.8116 + 0.2837}{2} = 0.5477 \\ x &= -1.0423 \cdot \cos(0.5477) = -1.0423 \cdot 0.854 = -0.890 \\ y &= -0.528 \\ d &= 6371 \cdot \sqrt{(-0.890)^2 + (-0.528)^2} \\ &= 6371 \cdot \sqrt{0.792 + 0.279} = 6371 \cdot \sqrt{1.071} \approx \boxed{6594\ \text{km}} \end{aligned} \]

5. Càlcul amb fórmula de Haversine

\[ \begin{aligned} \Delta \phi &= -0.528, \quad \Delta \lambda = -1.0423 \\ a &= \sin^2(-0.264) + \cos(0.8116) \cdot \cos(0.2837) \cdot \sin^2(-0.521) \\ &= 0.069 + 0.687 \cdot 0.960 \cdot 0.238 = 0.069 + 0.157 = 0.226 \\ c &= 2 \cdot \arctan2(\sqrt{0.226}, \sqrt{1-0.226}) \approx 0.98 \\ d &= 6371 \cdot 0.98 \approx \boxed{6244\ \text{km}} \end{aligned} \]

6. Conversió a milles nàutiques

\[ \begin{cases} \text{Pitàgores sense correcció: } \frac{7444}{1.852} \approx 4020\ \text{MN} \\ \text{Pitàgores corregit: } \frac{6594}{1.852} \approx 3560\ \text{MN} \\ \text{Haversine: } \frac{6244}{1.852} \approx 3371\ \text{MN} \end{cases} \]