Mini Transat 2025 – Comparació de Càlculs de Distància
En aquesta pàgina analitzem dues maneres de calcular la distància entre dos punts geogràfics:
la trigonometria plana (basada en el teorema de Pitàgores) i la trigonometria esfèrica (amb la fórmula de Haversine).
1. Coordenades geogràfiques
Sortida: Les Sables-d’Olonne → (46.5° N, -1.78° E)
Arribada: Guadeloupe → (16.25° N, -61.5° E)
2. Conversió de graus a radians
\[
\begin{aligned}
\phi_1 &= 46.5^\circ = 0.8116 \text{ rad} \\
\lambda_1 &= -1.78^\circ = -0.0311 \text{ rad} \\
\phi_2 &= 16.25^\circ = 0.2837 \text{ rad} \\
\lambda_2 &= -61.5^\circ = -1.0734 \text{ rad}
\end{aligned}
\]
3. Derivació de la fórmula de distància plana (teorema de Pitàgores)
Suposant una Terra plana, podem formar un triangle rectangle entre dos punts. Aplicant el teorema de Pitàgores amb:
- Catet vertical: \( y = \phi_2 - \phi_1 \)
- Catet horitzontal:
\[
x = (\lambda_2 - \lambda_1) \cdot \cos\left(\frac{\phi_1 + \phi_2}{2}\right)
\]
\[
d = R \cdot \sqrt{x^2 + y^2}
\]
4. Càlcul amb trigonometria plana
\[
\begin{aligned}
\Delta \lambda &= -1.0734 - (-0.0311) = -1.0423 \\
\phi_m &= \frac{0.8116 + 0.2837}{2} = 0.5477 \\
x &= -1.0423 \cdot \cos(0.5477) = -1.0423 \cdot 0.854 \approx -0.890 \\
y &= 0.2837 - 0.8116 = -0.528 \\
d &= 6371 \cdot \sqrt{(-0.890)^2 + (-0.528)^2} = 6371 \cdot \sqrt{0.792 + 0.279} = 6371 \cdot \sqrt{1.071} \approx 6594 \text{ km}
\end{aligned}
\]
5. Derivació de la fórmula de Haversine (trigonometria esfèrica)
La fórmula de Haversine calcula la distància entre dos punts sobre una esfera, utilitzant les seves latituds i longituds en radians.
- Primer, es calcula la diferència angular en latitud i longitud:
\[
\Delta\phi = \phi_2 - \phi_1,\quad \Delta\lambda = \lambda_2 - \lambda_1
\]
- Es calcula el valor \( a \), que representa el quadrat del semicordó entre els punts:
\[
a = \sin^2\left(\frac{\Delta\phi}{2}\right) + \cos(\phi_1) \cdot \cos(\phi_2) \cdot \sin^2\left(\frac{\Delta\lambda}{2}\right)
\]
- Es troba l’angle central \( c \) en radians entre els punts sobre l’esfera:
\[
c = 2 \cdot \arctan2\left(\sqrt{a}, \sqrt{1-a}\right)
\]
- Finalment, es calcula la distància multiplicant pel radi de la Terra:
\[
d = R \cdot c
\]
6. Càlcul amb Haversine
\[
\begin{aligned}
\Delta \phi &= -0.528, \quad \Delta \lambda = -1.0423 \\
a &= \sin^2(-0.264) + \cos(0.8116) \cdot \cos(0.2837) \cdot \sin^2(-0.521) \\
&= 0.069 + 0.687 \cdot 0.960 \cdot 0.238 = 0.069 + 0.157 = 0.226 \\
c &= 2 \cdot \arctan2(\sqrt{0.226}, \sqrt{1-0.226}) = 2 \cdot \arctan2(0.475, 0.880) \approx 0.98 \\
d &= 6371 \cdot 0.98 = 6244 \text{ km}
\end{aligned}
\]
7. Conversió a milles nàutiques
\[
1 \text{ MN} = 1.852 \text{ km} \quad \Rightarrow \quad
\begin{cases}
\text{Distància plana} \approx \frac{6594}{1.852} \approx 3560 \text{ MN} \\
\text{Distància Haversine} \approx \frac{6244}{1.852} \approx 3371 \text{ MN}
\end{cases}
\]
8. Comparació visual al mapa
La línia vermella representa la distància esfèrica (Haversine) i la blava, la distància plana (Pitàgores).